媒介変数 $t$ で表された関数 $x(t) = \frac{3t}{1+t^3}$ と $y(t) = \frac{3t^2}{1+t^3}$ が与えられているとき、$\frac{dy}{dx}$ を求めよ。問題文にはすでに答え $\frac{dy}{dx} = \frac{t(t^3-2)}{2t^3-1}$ が書いてある。

1. 問題の内容

媒介変数 $t$ で表された関数 $x(t) = \frac{3t}{1+t^3}$ と $y(t) = \frac{3t^2}{1+t^3}$ が与えられているとき、$\frac{dy}{dx}$ を求めよ。問題文にはすでに答え $\frac{dy}{dx} = \frac{t(t^3-2)}{2t^3-1}$ が書いてある。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{dx}{dt}$ と $\frac{dy}{dt}$ をそれぞれ計算する。

$\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{3t}{1+t^3} \right)$

商の微分公式 $\frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用いる。

$u = 3t$ なので $u' = 3$。

$v = 1+t^3$ なので $v' = 3t^2$。

したがって、

$\frac{dx}{dt} = \frac{3(1+t^3) - 3t(3t^2)}{(1+t^3)^2} = \frac{3+3t^3 - 9t^3}{(1+t^3)^2} = \frac{3 - 6t^3}{(1+t^3)^2} = \frac{3(1 - 2t^3)}{(1+t^3)^2}$

次に、$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{3t^2}{1+t^3} \right)$ を計算する。

$u = 3t^2$ なので $u' = 6t$。

$v = 1+t^3$ なので $v' = 3t^2$。

したがって、

$\frac{dy}{dt} = \frac{6t(1+t^3) - 3t^2(3t^2)}{(1+t^3)^2} = \frac{6t + 6t^4 - 9t^4}{(1+t^3)^2} = \frac{6t - 3t^4}{(1+t^3)^2} = \frac{3t(2 - t^3)}{(1+t^3)^2}$

$\frac{dy}{dx}$ は $\frac{dy}{dt} / \frac{dx}{dt}$ で求められるので、

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{\frac{3t(2 - t^3)}{(1+t^3)^2}}{\frac{3(1 - 2t^3)}{(1+t^3)^2}} = \frac{3t(2 - t^3)}{3(1 - 2t^3)} = \frac{t(2 - t^3)}{1 - 2t^3} = \frac{t(t^3 - 2)}{2t^3 - 1}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{t(t^3-2)}{2t^3-1}$