与えられた8つの関数をそれぞれ微分する問題です。

1. 問題の内容

与えられた8つの関数をそれぞれ微分する問題です。

2. 解き方の手順

それぞれの関数について、微分を計算する手順を説明します。

(1) $y = (x^2 + 1)^4$

合成関数の微分公式を使います。

$y' = 4(x^2 + 1)^3 \cdot (x^2 + 1)' = 4(x^2 + 1)^3 \cdot 2x = 8x(x^2 + 1)^3$

(2) $y = \frac{1}{(x^2 + 1)^4} = (x^2 + 1)^{-4}$

合成関数の微分公式を使います。

$y' = -4(x^2 + 1)^{-5} \cdot (x^2 + 1)' = -4(x^2 + 1)^{-5} \cdot 2x = -\frac{8x}{(x^2 + 1)^5}$

(3) $y = (x^2 + x + 1)^2 (3x^2 - 2x + 1)$

積の微分公式を使います。

$y' = [(x^2 + x + 1)^2]' (3x^2 - 2x + 1) + (x^2 + x + 1)^2 (3x^2 - 2x + 1)'$

まず、$(x^2 + x + 1)^2$の微分を計算します。

$[(x^2 + x + 1)^2]' = 2(x^2 + x + 1)(2x + 1)$

次に、$(3x^2 - 2x + 1)$の微分を計算します。

$(3x^2 - 2x + 1)' = 6x - 2$

したがって、

$y' = 2(x^2 + x + 1)(2x + 1)(3x^2 - 2x + 1) + (x^2 + x + 1)^2 (6x - 2)$

(4) $y = (\frac{2x + 3}{3x + 2})^3$

合成関数の微分公式と商の微分公式を使います。

$y' = 3(\frac{2x + 3}{3x + 2})^2 (\frac{2x + 3}{3x + 2})'$

$(\frac{2x + 3}{3x + 2})' = \frac{2(3x + 2) - 3(2x + 3)}{(3x + 2)^2} = \frac{6x + 4 - 6x - 9}{(3x + 2)^2} = \frac{-5}{(3x + 2)^2}$

したがって、

$y' = 3(\frac{2x + 3}{3x + 2})^2 \cdot \frac{-5}{(3x + 2)^2} = -\frac{15(2x + 3)^2}{(3x + 2)^4}$

(5) $y = e^{-x^2}$

合成関数の微分公式を使います。

$y' = e^{-x^2} \cdot (-x^2)' = e^{-x^2} \cdot (-2x) = -2xe^{-x^2}$

(6) $y = \sin(3x^2 - 2x + 1)$

合成関数の微分公式を使います。

$y' = \cos(3x^2 - 2x + 1) \cdot (3x^2 - 2x + 1)' = \cos(3x^2 - 2x + 1) \cdot (6x - 2) = (6x - 2)\cos(3x^2 - 2x + 1)$

(7) $y = \frac{1}{\cos^2 x} = (\cos x)^{-2}$

合成関数の微分公式を使います。

$y' = -2(\cos x)^{-3} \cdot (\cos x)' = -2(\cos x)^{-3} \cdot (-\sin x) = \frac{2\sin x}{\cos^3 x} = 2 \tan x \sec^2 x$

(8) $y = \tan(\frac{1}{x})$

合成関数の微分公式を使います。

$y' = \sec^2(\frac{1}{x}) \cdot (\frac{1}{x})' = \sec^2(\frac{1}{x}) \cdot (-\frac{1}{x^2}) = -\frac{1}{x^2}\sec^2(\frac{1}{x})$

3. 最終的な答え

(1) $8x(x^2 + 1)^3$

(2) $-\frac{8x}{(x^2 + 1)^5}$

(3) $2(x^2 + x + 1)(2x + 1)(3x^2 - 2x + 1) + (x^2 + x + 1)^2 (6x - 2)$

(4) $-\frac{15(2x + 3)^2}{(3x + 2)^4}$

(5) $-2xe^{-x^2}$

(6) $(6x - 2)\cos(3x^2 - 2x + 1)$

(7) $2 \tan x \sec^2 x$

(8) $-\frac{1}{x^2}\sec^2(\frac{1}{x})$