ライプニッツの公式を利用して、以下の関数を微分する問題です。 (1) $y_1 = \frac{d^n}{dx^n}(x^2 e^{-x})$ (2) $y_2 = \frac{d}{dx}(x^2 \cos x)$ (3) $y_3 = \frac{d}{dx}((x^2 + x) \sin x)$

1. 問題の内容

ライプニッツの公式を利用して、以下の関数を微分する問題です。

(1) $y_1 = \frac{d^n}{dx^n}(x^2 e^{-x})$

(2) $y_2 = \frac{d}{dx}(x^2 \cos x)$

(3) $y_3 = \frac{d}{dx}((x^2 + x) \sin x)$

2. 解き方の手順

(1) $y_1 = \frac{d^n}{dx^n}(x^2 e^{-x})$ について

ライプニッツの公式を用います。$f(x) = x^2$、$g(x) = e^{-x}$とします。

$f'(x) = 2x$

$f''(x) = 2$

$f^{(k)}(x) = 0$ ($k \ge 3$)

$g^{(n-k)}(x) = (-1)^{n-k} e^{-x}$

$\frac{d^n}{dx^n}(x^2 e^{-x}) = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} f^{(k)}(x) g^{(n-k)}(x)$

$= \binom{n}{0} x^2 (-1)^n e^{-x} + \binom{n}{1} 2x (-1)^{n-1} e^{-x} + \binom{n}{2} 2 (-1)^{n-2} e^{-x}$

$= (-1)^n e^{-x} \left[ x^2 - 2nx + n(n-1) \right]$

(2) $y_2 = \frac{d}{dx}(x^2 \cos x)$について

積の微分公式を用います。

$\frac{d}{dx}(x^2 \cos x) = \frac{d}{dx}(x^2) \cos x + x^2 \frac{d}{dx}(\cos x)$

$= 2x \cos x - x^2 \sin x$

(3) $y_3 = \frac{d}{dx}((x^2 + x) \sin x)$について

積の微分公式を用います。

$\frac{d}{dx}((x^2 + x) \sin x) = \frac{d}{dx}(x^2 + x) \sin x + (x^2 + x) \frac{d}{dx}(\sin x)$

$= (2x + 1) \sin x + (x^2 + x) \cos x$

3. 最終的な答え

(1) $y_1 = (-1)^n e^{-x} (x^2 - 2nx + n(n-1))$

(2) $y_2 = 2x \cos x - x^2 \sin x$

(3) $y_3 = (2x+1) \sin x + (x^2 + x) \cos x$