(i) 有理式 $\frac{1}{(x-2)(x+5)}$ を部分分数分解せよ。 (ii) $\int \frac{dx}{(x-2)(x+5)}$ を計算せよ。

1. 問題の内容

(i) 有理式 $\frac{1}{(x-2)(x+5)}$ を部分分数分解せよ。

(ii) $\int \frac{dx}{(x-2)(x+5)}$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

(i) 部分分数分解を行う。

$\frac{1}{(x-2)(x+5)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+5}$ とおく。

両辺に $(x-2)(x+5)$ をかけると、

$1 = A(x+5) + B(x-2)$ となる。

$x=2$ のとき、 $1 = A(2+5) + B(2-2) \Rightarrow 1 = 7A \Rightarrow A = \frac{1}{7}$

$x=-5$ のとき、 $1 = A(-5+5) + B(-5-2) \Rightarrow 1 = -7B \Rightarrow B = -\frac{1}{7}$

したがって、

$\frac{1}{(x-2)(x+5)} = \frac{1/7}{x-2} - \frac{1/7}{x+5}$

(ii) (i)の結果を用いて積分を計算する。

$\int \frac{dx}{(x-2)(x+5)} = \int \left(\frac{1/7}{x-2} - \frac{1/7}{x+5}\right) dx$

$= \frac{1}{7} \int \frac{1}{x-2} dx - \frac{1}{7} \int \frac{1}{x+5} dx$

$= \frac{1}{7} \ln |x-2| - \frac{1}{7} \ln |x+5| + C$

$= \frac{1}{7} (\ln |x-2| - \ln |x+5|) + C$

$= \frac{1}{7} \ln \left| \frac{x-2}{x+5} \right| + C$

3. 最終的な答え

(i) $\frac{1}{(x-2)(x+5)} = \frac{1/7}{x-2} - \frac{1/7}{x+5}$

(ii) $\int \frac{dx}{(x-2)(x+5)} = \frac{1}{7} \ln \left| \frac{x-2}{x+5} \right| + C$