関数 $y = e^{-x} \sin x$ の極大・極小、凹凸、変曲点を調べ、曲線 $y = f(x)$ の概形を描く。

1. 問題の内容

関数 $y = e^{-x} \sin x$ の極大・極小、凹凸、変曲点を調べ、曲線 $y = f(x)$ の概形を描く。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を $y = e^{-x} \sin x$ とする。

$y$ を微分して $y'$ を求め、さらに $y''$ を求める。

$y'=0$となる $x$ を求めることで極値を求める。

$y''=0$となる $x$ を求めることで変曲点を求める。

$y' = e^{-x} \cos x - e^{-x} \sin x = e^{-x} (\cos x - \sin x)$

$y'' = -e^{-x} (\cos x - \sin x) + e^{-x} (-\sin x - \cos x) = e^{-x} (-\cos x + \sin x - \sin x - \cos x) = -2 e^{-x} \cos x$

極値を求めるには、$y' = 0$ となる $x$ を探す。

$e^{-x} (\cos x - \sin x) = 0$

$e^{-x}$ は常に正なので、$\cos x - \sin x = 0$ となる $x$ を探す。

$\cos x = \sin x$

$\tan x = 1$

よって、$x = \frac{\pi}{4} + n\pi$ ($n$は整数)。

変曲点を求めるには、$y'' = 0$ となる $x$ を探す。

$-2 e^{-x} \cos x = 0$

$e^{-x}$ は常に正なので、$\cos x = 0$ となる $x$ を探す。

$x = \frac{\pi}{2} + n\pi$ ($n$は整数)。

$x = \frac{\pi}{4}$ のとき、$y = e^{-\frac{\pi}{4}} \sin \frac{\pi}{4} = e^{-\frac{\pi}{4}} \frac{\sqrt{2}}{2} > 0$ であり、$y'' = -2 e^{-\frac{\pi}{4}} \cos \frac{\pi}{4} = -2 e^{-\frac{\pi}{4}} \frac{\sqrt{2}}{2} < 0$ より極大値。

$x = \frac{5\pi}{4}$ のとき、$y = e^{-\frac{5\pi}{4}} \sin \frac{5\pi}{4} = e^{-\frac{5\pi}{4}} (-\frac{\sqrt{2}}{2}) < 0$ であり、$y'' = -2 e^{-\frac{5\pi}{4}} \cos \frac{5\pi}{4} = -2 e^{-\frac{5\pi}{4}} (-\frac{\sqrt{2}}{2}) > 0$ より極小値。

$x = \frac{\pi}{2}$ のとき、$y = e^{-\frac{\pi}{2}} \sin \frac{\pi}{2} = e^{-\frac{\pi}{2}}$ であり、$y'' = 0$。

$x = \frac{3\pi}{2}$ のとき、$y = e^{-\frac{3\pi}{2}} \sin \frac{3\pi}{2} = -e^{-\frac{3\pi}{2}}$ であり、$y'' = 0$。

概形を描く際には、x軸との交点($y=0$)も考慮する。$e^{-x} \sin x = 0$より、$\sin x = 0$なので、$x = n\pi$ ($n$は整数)となる。

3. 最終的な答え

関数 $y = e^{-x} \sin x$ の概形は、以下の情報から描画できる。

* 極大値: $x = \frac{\pi}{4} + 2n\pi$ で、$y > 0$。

* 極小値: $x = \frac{5\pi}{4} + 2n\pi$ で、$y < 0$。

* 変曲点: $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$。

* x軸との交点: $x = n\pi$。

* $x \to \infty$ で $y \to 0$。