問題は2つの部分から構成されています。 * **偏微分の計算:** 与えられた関数について、指定された変数に関する偏微分を計算します。具体的には、以下の関数とその偏微分を求めます。 * $z = f(x, y) = 4x^3y^2$ について、$\frac{\partial z}{\partial x}$ と $\frac{\partial f(x, y)}{\partial y}$ * $z = f(x, y) = \sin(xy)$ について、$\frac{\partial z}{\partial y}$ * $z = f(x, y) = \log{\sqrt{2 + y^2}}$ について、$\frac{\partial f}{\partial x}$ * **曲面の解析:** 曲面 $S: z = x^2y - 1$ に関する問題です。 * 平面 $x = 2$ で切った切り口の方程式を求めます。 * 平面 $y = 4$ で切った切り口の方程式を求めます。 * 点 $(2, 4, 15)$ における接平面の方程式を求めます。

1. 問題の内容

問題は2つの部分から構成されています。

* **偏微分の計算:** 与えられた関数について、指定された変数に関する偏微分を計算します。具体的には、以下の関数とその偏微分を求めます。

* $z = f(x, y) = 4x^3y^2$ について、$\frac{\partial z}{\partial x}$ と $\frac{\partial f(x, y)}{\partial y}$

* $z = f(x, y) = \sin(xy)$ について、$\frac{\partial z}{\partial y}$

* $z = f(x, y) = \log{\sqrt{2 + y^2}}$ について、$\frac{\partial f}{\partial x}$

* **曲面の解析:** 曲面 $S: z = x^2y - 1$ に関する問題です。

* 平面 $x = 2$ で切った切り口の方程式を求めます。

* 平面 $y = 4$ で切った切り口の方程式を求めます。

* 点 $(2, 4, 15)$ における接平面の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

**偏微分の計算:**

(i) $z = 4x^3y^2$ の場合:

* $\frac{\partial z}{\partial x}$: $y$ を定数と見て、$x$ について微分します。

$\frac{\partial z}{\partial x} = 4y^2 \cdot 3x^2 = 12x^2y^2$

* $\frac{\partial f(x, y)}{\partial y}$: $x$ を定数と見て、$y$ について微分します。

$\frac{\partial f(x, y)}{\partial y} = 4x^3 \cdot 2y = 8x^3y$

(ii) $z = \sin(xy)$ の場合:

* $\frac{\partial z}{\partial y}$: $x$ を定数と見て、$y$ について微分します。

$\frac{\partial z}{\partial y} = \cos(xy) \cdot x = x\cos(xy)$

(iii) $z = \log{\sqrt{2 + y^2}}$ の場合:

* $\frac{\partial f}{\partial x}$: $x$ で偏微分しますが、関数は $x$ に依存しません。したがって、微分は0になります。

$\frac{\partial f}{\partial x} = 0$

**曲面の解析:**

(i) 曲面 $S: z = x^2y - 1$ を平面 $x = 2$ で切った切り口の方程式:

* $x = 2$ を $z = x^2y - 1$ に代入します。

$z = (2)^2y - 1 = 4y - 1$

したがって、切り口の方程式は $z = 4y - 1$ です。

(ii) 曲面 $S: z = x^2y - 1$ を平面 $y = 4$ で切った切り口の方程式:

* $y = 4$ を $z = x^2y - 1$ に代入します。

$z = x^2(4) - 1 = 4x^2 - 1$

したがって、切り口の方程式は $z = 4x^2 - 1$ です。

(iii) 点 $(2, 4, 15)$ における接平面の方程式:

* $f(x, y, z) = x^2y - z - 1 = 0$ とおきます。

* 各変数に関する偏微分を計算します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy$

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^2$

$\frac{\partial f}{\partial z} = -1$

* 点 $(2, 4, 15)$ における偏微分の値を計算します。

$\frac{\partial f}{\partial x}(2, 4, 15) = 2(2)(4) = 16$

$\frac{\partial f}{\partial y}(2, 4, 15) = (2)^2 = 4$

$\frac{\partial f}{\partial z}(2, 4, 15) = -1$

* 接平面の方程式は次のようになります。

$16(x - 2) + 4(y - 4) - 1(z - 15) = 0$

$16x - 32 + 4y - 16 - z + 15 = 0$

$16x + 4y - z - 33 = 0$

$16x + 4y - z = 33$

3. 最終的な答え

**偏微分の計算:**

* $\frac{\partial z}{\partial x} = 12x^2y^2$

* $\frac{\partial f(x, y)}{\partial y} = 8x^3y$

* $\frac{\partial z}{\partial y} = x\cos(xy)$

* $\frac{\partial f}{\partial x} = 0$

**曲面の解析:**

* 平面 $x = 2$ で切った切り口の方程式: $z = 4y - 1$

* 平面 $y = 4$ で切った切り口の方程式: $z = 4x^2 - 1$

* 点 $(2, 4, 15)$ における接平面の方程式: $16x + 4y - z = 33$