数列 $\sqrt[n]{n}$ の極限値を求める問題です。この数列は、$\sqrt[3]{3} > \sqrt[4]{4} > \sqrt[5]{5} > \cdots > \sqrt[n]{n} > \cdots$ と減少していくことが示唆されています。

1. 問題の内容

数列 $\sqrt[n]{n}$ の極限値を求める問題です。この数列は、$\sqrt[3]{3} > \sqrt[4]{4} > \sqrt[5]{5} > \cdots > \sqrt[n]{n} > \cdots$ と減少していくことが示唆されています。

2. 解き方の手順

数列 $a_n = \sqrt[n]{n} = n^{\frac{1}{n}}$ の極限を考えます。

まず、両辺の自然対数を取ります。

$\ln a_n = \ln (n^{\frac{1}{n}}) = \frac{1}{n} \ln n = \frac{\ln n}{n}$

次に、$\lim_{n \to \infty} \frac{\ln n}{n}$ を求めます。これは不定形 $\frac{\infty}{\infty}$ の形なので、ロピタルの定理を使えます。

$\lim_{n \to \infty} \frac{\ln n}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}}{1} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$

したがって、

$\lim_{n \to \infty} \ln a_n = 0$

次に、$\lim_{n \to \infty} a_n$ を求めるために、$\ln$ の逆関数である指数関数を利用します。

$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} e^{\ln a_n} = e^{\lim_{n \to \infty} \ln a_n} = e^0 = 1$

3. 最終的な答え

数列 $\sqrt[n]{n}$ の極限値は 1 です。

答え: 1