* 10000円の確率：$1/500$ * 5000円の確率：$10/500 = 1/50$ * 1000円の確率：$50/500 = 1/10$ * 500円の確率：$100/500 = 1/5$ * 0円の確率：$1 - (1/500 + 1/50 + 1/10 + 1/5) = 1 - (1+10+50+100)/500 = 1 - 161/500 = 339/500$

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1. 問題の内容

問題36 (1): 500本のくじがあり、当たりくじの種類と本数は以下の通りです。

* 10000円：1本

* 5000円：10本

* 1000円：50本

* 500円：100本

それ以外は0円のはずれくじです。このくじを1本引くとき、賞金額の期待値を求めます。

問題36 (2): サイコロを3回続けて投げ、奇数の目が出た回数1回につき500円もらえるゲームがあります。このゲームの参加料が800円であるとき、このゲームに参加するのは得であるか判断します。

問題37 (1): 三角形ABCにおいて、点Oは外心です。角Bが26度、角Cが47度とわかっています。角αと角βをそれぞれ求めます。

問題37 (2): 三角形ABCにおいて、点Iは内心です。角Aの上側が44度、角Cの下側が25度とわかっています。角αと角βをそれぞれ求めます。

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2. 解き方の手順

### 問題36 (1)

1. それぞれの賞金額が得られる確率を計算します。

* 10000円の確率：$1/500$

* 5000円の確率：$10/500 = 1/50$

* 1000円の確率：$50/500 = 1/10$

* 500円の確率：$100/500 = 1/5$

* 0円の確率：$1 - (1/500 + 1/50 + 1/10 + 1/5) = 1 - (1+10+50+100)/500 = 1 - 161/500 = 339/500$

2. 期待値を計算します。期待値は、それぞれの賞金額とその確率の積の合計です。

$E = 10000 * (1/500) + 5000 * (1/50) + 1000 * (1/10) + 500 * (1/5) + 0 * (339/500)$

$E = 20 + 100 + 100 + 100 + 0 = 320$

### 問題36 (2)

1. サイコロを1回投げたとき、奇数の目が出る確率は1/2です。

2. サイコロを3回投げたとき、奇数の目が出る回数は二項分布に従います。奇数の目が出る回数をXとすると、$X \sim B(3, 1/2)$です。

3. それぞれの回数で奇数の目が出る確率を計算します。

* 0回：${}_3C_0 (1/2)^0 (1/2)^3 = 1 * 1 * 1/8 = 1/8$

* 1回：${}_3C_1 (1/2)^1 (1/2)^2 = 3 * 1/2 * 1/4 = 3/8$

* 2回：${}_3C_2 (1/2)^2 (1/2)^1 = 3 * 1/4 * 1/2 = 3/8$

* 3回：${}_3C_3 (1/2)^3 (1/2)^0 = 1 * 1/8 * 1 = 1/8$

4. 得られる金額の期待値を計算します。

$E = 0 * (1/8) + 500 * (3/8) + 1000 * (3/8) + 1500 * (1/8)$

$E = 0 + 1500/8 + 3000/8 + 1500/8 = 6000/8 = 750$

5. 参加料800円と期待値750円を比較します。期待値750円は参加料800円より少ないため、このゲームに参加するのは損です。

### 問題37 (1)

1. 三角形の内角の和は180度なので、角Aの大きさは$180 - 26 - 47 = 107$度です。

2. 外心は三角形の各頂点からの距離が等しい点なので、三角形OBCは二等辺三角形です。よって、角OBC = 角OCBです。角BOCの大きさは、$360 - 2 \times $角BAC = $360-2*107 = 146$。角OCB = 角OBC =$(180 - 角BOC)/2 = (180-146)/2 = 17$度です。

3. $\alpha = 26 - 17 = 9$度です。

4. 三角形OACは二等辺三角形なので、角OAC = 角OCAです。

角OAC + 角OCA + 角AOC = 180

角OAC = 角OCA = $(180 - 角AOC) /2$。

角AOC = 2 * 角ABC = 2 * 26 = 52度です。

角OAC = 角OCA = $(180-52)/2 = 64$度です。

5. よって、$\beta = 角OAC - (180 - 26 - 47) = 64 - 47 = 17$度です。

### 問題37 (2)

1. 内心は三角形の内角の二等分線の交点です。よって、角BAI = 角CAI = 44度です。角BCI = 角ACI = 25度です。

2. 角BAC = 2 * 44 = 88度です。

3. 角BCA = 2 * 25 = 50度です。

4. 三角形の内角の和は180度なので、角ABC = $180 - 88 - 50 = 42$度です。

5. 角ABI = 角CBI = 角ABC/2 = 42/2 = 21度です。

6. $\beta = 角ABI = 21$度です。

7. $\alpha = 角BAI = 44$度です。

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3. 最終的な答え

問題36 (1)：320円

問題36 (2)：損である

問題37 (1)：$\alpha = 9$度、$\beta = 17$度

問題37 (2)：$\alpha = 44$度、$\beta = 21$度