問題は、小問集合であり、(1)因数分解、(2)展開、(3)根号の計算、(4)連立不等式、(5)式の値、の５つの問題に答えるものです。

1. 問題の内容

問題は、小問集合であり、(1)因数分解、(2)展開、(3)根号の計算、(4)連立不等式、(5)式の値、の５つの問題に答えるものです。

2. 解き方の手順

(1) $6x^2 - 5x - 21$ を因数分解します。

$6x^2 - 5x - 21 = (2x + 3)(3x - 7)$

(2) $(a + 2b - 3)(a - 2b + 3)$ を展開し、整理します。

$(a + 2b - 3)(a - 2b + 3) = (a - 3 + 2b)(a - 3 - 2b) = (a - 3)^2 - (2b)^2 = a^2 - 6a + 9 - 4b^2 = a^2 - 4b^2 - 6a + 9$

(3) $|\sqrt{7} - 2| + |\sqrt{7} - 3|$ を計算し、簡単にします。

$\sqrt{7} \approx 2.64$ なので、$\sqrt{7} - 2 > 0$ 、$\sqrt{7} - 3 < 0$

したがって、 $|\sqrt{7} - 2| = \sqrt{7} - 2$ 、 $|\sqrt{7} - 3| = -(\sqrt{7} - 3) = 3 - \sqrt{7}$

$|\sqrt{7} - 2| + |\sqrt{7} - 3| = \sqrt{7} - 2 + 3 - \sqrt{7} = 1$

(4) 連立不等式

$\begin{cases} \frac{5}{6}x - \frac{1}{3} < \frac{x}{3} + \frac{1}{2} \\ \frac{4x + 3}{2} \leq 4x - 1 \end{cases}$

まず、上の不等式を解きます。

$\frac{5}{6}x - \frac{1}{3} < \frac{x}{3} + \frac{1}{2}$

両辺に6をかけて $5x - 2 < 2x + 3$

$3x < 5$

$x < \frac{5}{3}$

次に、下の不等式を解きます。

$\frac{4x + 3}{2} \leq 4x - 1$

両辺に2をかけて $4x + 3 \leq 8x - 2$

$-4x \leq -5$

$x \geq \frac{5}{4}$

よって、$\frac{5}{4} \leq x < \frac{5}{3}$

(5) $a + b = 2\sqrt{5}, ab = -7$ のとき、$a^2 + b^2 - 3ab$ の値を求めます。

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$

$a^2 + b^2 - 3ab = (a + b)^2 - 2ab - 3ab = (a + b)^2 - 5ab = (2\sqrt{5})^2 - 5(-7) = 4 \times 5 + 35 = 20 + 35 = 55$

3. 最終的な答え

(ア): $(2x+3)(3x-7)$

(イ): $a^2 - 4b^2 - 6a + 9$

(ウ): $1$

(エ): $\frac{5}{4} \leq x < \frac{5}{3}$

(オ): $55$