$a = \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1}$ と $b = |2\sqrt{2} - 3|$ が与えられている。 (1) $a$ の分母を有理化して簡単にせよ。 (2) $a+b$ の値を求めよ。また、$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2$ の値を求めよ。 (3) $\frac{\sqrt{2a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} - \frac{\sqrt{a} + \sqrt{2b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a = \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1}$ と $b = |2\sqrt{2} - 3|$ が与えられている。

(1) $a$ の分母を有理化して簡単にせよ。

(2) $a+b$ の値を求めよ。また、$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2$ の値を求めよ。

(3) $\frac{\sqrt{2a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} - \frac{\sqrt{a} + \sqrt{2b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $a$ の分母を有理化する。

$a = \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \frac{(\sqrt{2} + 1)^2}{2 - 1} = (\sqrt{2} + 1)^2 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 = 3 + 2\sqrt{2}$

(2) $b$ の絶対値を計算する。$2\sqrt{2} = \sqrt{8}$ であり、 $3 = \sqrt{9}$ なので、$2\sqrt{2} < 3$ である。したがって、$b = |2\sqrt{2} - 3| = 3 - 2\sqrt{2}$

$a + b = (3 + 2\sqrt{2}) + (3 - 2\sqrt{2}) = 6$

$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + 2\sqrt{ab} + b = a + b + 2\sqrt{ab}$

$ab = (3 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2}) = 3^2 - (2\sqrt{2})^2 = 9 - 8 = 1$

$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = 6 + 2\sqrt{1} = 6 + 2 = 8$

(3) $\frac{\sqrt{2a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} - \frac{\sqrt{a} + \sqrt{2b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{(\sqrt{2a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b}) - (\sqrt{a} + \sqrt{2b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b})}$

$= \frac{(\sqrt{2a}\sqrt{a} - \sqrt{2a}\sqrt{b} - \sqrt{b}\sqrt{a} + b) - (a + \sqrt{ab} + \sqrt{2ab} + \sqrt{2}b)}{a - b}$

$= \frac{\sqrt{2}a - \sqrt{2ab} - \sqrt{ab} + b - a - \sqrt{ab} - \sqrt{2}\sqrt{ab}b - \sqrt{2}b}{a - b}$

$a - b = (3 + 2\sqrt{2}) - (3 - 2\sqrt{2}) = 4\sqrt{2}$

$\sqrt{2a} = \sqrt{2(3+2\sqrt{2})} = \sqrt{6+4\sqrt{2}}$

$\sqrt{2b} = \sqrt{2(3-2\sqrt{2})} = \sqrt{6-4\sqrt{2}}$

$\frac{\sqrt{2a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} - \frac{\sqrt{a} + \sqrt{2b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{(\sqrt{2a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b}) - (\sqrt{a}+\sqrt{2b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{a-b}$

$= \frac{\sqrt{2a^2}-\sqrt{2ab}-\sqrt{ab}+b - (a+\sqrt{ab}+\sqrt{2ab}+\sqrt{2b^2})}{a-b}$

$= \frac{\sqrt{2}(a-\sqrt{ab}) - a - (\sqrt{2ab}-\sqrt{ab})+ b-\sqrt{2}b}{a-b}$

$= \frac{\sqrt{2}a - \sqrt{a} - \sqrt{2}\sqrt{ab}+\sqrt{b} \sqrt{a} -\sqrt{a}-\sqrt{2}\sqrt{ab}}{a-b}$

$= \frac{\sqrt{2}(3+2\sqrt{2})\sqrt{3-2\sqrt{2}} - (3 + \sqrt{2}(3-2\sqrt{2})-b}{4\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2a^2}-\sqrt{2ab}- \sqrt{ab}+b - a-2\sqrt{2}ab- b}{a-b} = -2$

$= \frac{(\sqrt{2} - 1)(a+b)}{a-b} = -2$

3. 最終的な答え

(1) $a = 3 + 2\sqrt{2}$

(2) $a + b = 6$, $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = 8$

(3) $-2$