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関数 $f(x) = x^3 + ax^2 + (3a - 6)x + 5$ が極値を持つような定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

解析学微分極値判別式関数の増減
2025/6/1

1. 問題の内容

関数 f(x)=x3+ax2+(3a−6)x+5f(x) = x^3 + ax^2 + (3a - 6)x + 5 が極値を持つような定数 aa の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

関数 f(x)f(x) が極値を持つためには、f′(x)=0f'(x) = 0 が異なる2つの実数解を持つ必要があります。
まず、f(x)f(x) を微分します。
f′(x)=3x2+2ax+(3a−6)f'(x) = 3x^2 + 2ax + (3a - 6)
f′(x)=0f'(x) = 0 が異なる2つの実数解を持つための条件は、f′(x)=0f'(x) = 0 の判別式 DD が正であることです。
D=(2a)2−4⋅3⋅(3a−6)D = (2a)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (3a - 6)
D=4a2−36a+72D = 4a^2 - 36a + 72
D=4(a2−9a+18)D = 4(a^2 - 9a + 18)
D>0D > 0 より、
a2−9a+18>0a^2 - 9a + 18 > 0
(a−3)(a−6)>0(a - 3)(a - 6) > 0
よって、a<3a < 3 または a>6a > 6

3. 最終的な答え

a<3a < 3 または a>6a > 6

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