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与えられた式 $\frac{\frac{1}{x+h} - \frac{1}{x}}{h}$ を簡略化してください。

解析学極限微分式の簡略化
2025/6/1

1. 問題の内容

与えられた式 1x+h−1xh\frac{\frac{1}{x+h} - \frac{1}{x}}{h} を簡略化してください。

2. 解き方の手順

まず、分子にある分数の引き算を計算します。
分母を揃えるために、1x+h\frac{1}{x+h} に xx\frac{x}{x} を掛け、1x\frac{1}{x} に x+hx+h\frac{x+h}{x+h} を掛けます。
1x+h−1x=xx(x+h)−x+hx(x+h)=x−(x+h)x(x+h)=x−x−hx(x+h)=−hx(x+h)\frac{1}{x+h} - \frac{1}{x} = \frac{x}{x(x+h)} - \frac{x+h}{x(x+h)} = \frac{x - (x+h)}{x(x+h)} = \frac{x - x - h}{x(x+h)} = \frac{-h}{x(x+h)}
次に、この結果を与えられた式に代入します。
−hx(x+h)h=−hx(x+h)⋅1h\frac{\frac{-h}{x(x+h)}}{h} = \frac{-h}{x(x+h)} \cdot \frac{1}{h}
hh を約分すると、
−1x(x+h)\frac{-1}{x(x+h)}

3. 最終的な答え

−1x(x+h)\frac{-1}{x(x+h)}

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