* 問題6-1：関数 $f$ が $a$ で微分可能であるとき、極限 $\lim_{x \to a} \frac{x^3 f(a) - a^3 f(x)}{x^2 - a^2}$ を $f(a), f'(a), a$ などを用いて表わせ。 * 問題6-2：関数 $f(x) = \frac{x}{(x^2+1)^2}$ と $g(x) = \frac{\log x}{x^2}$ （ただし $x > 0$）の導関数を求めよ。

はい、承知いたしました。画像に書かれた3つの問題のうち、問題6-1と問題6-2を解きます。

1. 問題の内容

* 問題6-1：関数 $f$ が $a$ で微分可能であるとき、極限 $\lim_{x \to a} \frac{x^3 f(a) - a^3 f(x)}{x^2 - a^2}$ を $f(a), f'(a), a$ などを用いて表わせ。

* 問題6-2：関数 $f(x) = \frac{x}{(x^2+1)^2}$ と $g(x) = \frac{\log x}{x^2}$ （ただし $x > 0$）の導関数を求めよ。

2. 解き方の手順

* 問題6-1

極限を求めるために、分子を以下のように変形します。

$x^3 f(a) - a^3 f(x) = x^3 f(a) - a^3 f(a) + a^3 f(a) - a^3 f(x)$

$= (x^3 - a^3) f(a) - a^3 (f(x) - f(a))$

これにより、元の極限は以下のようになります。

$\lim_{x \to a} \frac{x^3 f(a) - a^3 f(x)}{x^2 - a^2} = \lim_{x \to a} \frac{(x^3 - a^3) f(a) - a^3 (f(x) - f(a))}{x^2 - a^2}$

$= \lim_{x \to a} \frac{(x^3 - a^3) f(a)}{x^2 - a^2} - \lim_{x \to a} \frac{a^3 (f(x) - f(a))}{x^2 - a^2}$

$= \lim_{x \to a} \frac{(x - a)(x^2 + ax + a^2) f(a)}{(x - a)(x + a)} - \lim_{x \to a} \frac{a^3 (f(x) - f(a))}{(x - a)(x + a)}$

$= \lim_{x \to a} \frac{(x^2 + ax + a^2) f(a)}{x + a} - \lim_{x \to a} \frac{a^3}{x + a} \cdot \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$

ここで、$\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = f'(a)$ を用います。

$= \frac{(a^2 + a^2 + a^2) f(a)}{a + a} - \frac{a^3}{a + a} f'(a)$

$= \frac{3a^2 f(a)}{2a} - \frac{a^3}{2a} f'(a)$

$= \frac{3a f(a)}{2} - \frac{a^2 f'(a)}{2}$

* 問題6-2

$f(x) = \frac{x}{(x^2+1)^2}$ の導関数を求めます。商の微分公式を使います。

$f'(x) = \frac{(x^2 + 1)^2 \cdot 1 - x \cdot 2 (x^2 + 1) \cdot 2x}{(x^2 + 1)^4}$

$= \frac{(x^2 + 1) [(x^2 + 1) - 4x^2]}{(x^2 + 1)^4}$

$= \frac{1 - 3x^2}{(x^2 + 1)^3}$

$g(x) = \frac{\log x}{x^2}$ の導関数を求めます。商の微分公式を使います。

$g'(x) = \frac{x^2 \cdot \frac{1}{x} - \log x \cdot 2x}{x^4}$

$= \frac{x - 2x \log x}{x^4}$

$= \frac{1 - 2 \log x}{x^3}$

3. 最終的な答え

* 問題6-1：$\frac{3a f(a)}{2} - \frac{a^2 f'(a)}{2}$

* 問題6-2：$f'(x) = \frac{1 - 3x^2}{(x^2 + 1)^3}$, $g'(x) = \frac{1 - 2 \log x}{x^3}$