与えられた連立方程式を満たす行列 $X$ と $Y$ をそれぞれ求めます。 (1) $X + Y = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$, $X - 2Y = \begin{bmatrix} 1 & -7 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$ (2) $2X + Y = \begin{bmatrix} 4 & -7 & 10 \\ 5 & 3 & -2 \end{bmatrix}$, $X - 3Y = \begin{bmatrix} 9 & -7 & -9 \\ -8 & 5 & 6 \end{bmatrix}$

以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

与えられた連立方程式を満たす行列 $X$ と $Y$ をそれぞれ求めます。

(1)

$X + Y = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$,

$X - 2Y = \begin{bmatrix} 1 & -7 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$

(2)

$2X + Y = \begin{bmatrix} 4 & -7 & 10 \\ 5 & 3 & -2 \end{bmatrix}$,

$X - 3Y = \begin{bmatrix} 9 & -7 & -9 \\ -8 & 5 & 6 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

(1)

連立方程式を加減法で解きます。

一つ目の式から二つ目の式を引くと、

$(X + Y) - (X - 2Y) = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & -7 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$

$3Y = \begin{bmatrix} 0 & 9 \\ 6 & 3 \end{bmatrix}$

$Y = \begin{bmatrix} 0 & 3 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$

$X = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} - Y = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 0 & 3 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$

(2)

連立方程式を加減法で解きます。

一つ目の式から二つ目の式の2倍を引くと、

$(2X + Y) - 2(X - 3Y) = \begin{bmatrix} 4 & -7 & 10 \\ 5 & 3 & -2 \end{bmatrix} - 2\begin{bmatrix} 9 & -7 & -9 \\ -8 & 5 & 6 \end{bmatrix}$

$7Y = \begin{bmatrix} 4-18 & -7+14 & 10+18 \\ 5+16 & 3-10 & -2-12 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -14 & 7 & 28 \\ 21 & -7 & -14 \end{bmatrix}$

$Y = \begin{bmatrix} -2 & 1 & 4 \\ 3 & -1 & -2 \end{bmatrix}$

$X = \begin{bmatrix} 9 & -7 & -9 \\ -8 & 5 & 6 \end{bmatrix} + 3Y = \begin{bmatrix} 9 & -7 & -9 \\ -8 & 5 & 6 \end{bmatrix} + 3\begin{bmatrix} -2 & 1 & 4 \\ 3 & -1 & -2 \end{bmatrix}$

$X = \begin{bmatrix} 9-6 & -7+3 & -9+12 \\ -8+9 & 5-3 & 6-6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -4 & 3 \\ 1 & 2 & 0 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

(1)

$X = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$,

$Y = \begin{bmatrix} 0 & 3 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$

(2)

$X = \begin{bmatrix} 3 & -4 & 3 \\ 1 & 2 & 0 \end{bmatrix}$,

$Y = \begin{bmatrix} -2 & 1 & 4 \\ 3 & -1 & -2 \end{bmatrix}$