2次関数 $f(x) = x^2 - 4ax - 4a + 1$ が与えられている。ただし、$a$ は定数である。 (1) $a = 1$ のとき、$f(x)$ の最小値とそのときの $x$ の値を求める。 (2) $y = f(x)$ のグラフの頂点の座標を $a$ を用いて表し、さらに $f(x)$ の最小値が $0$ であるときの $a$ の値を求める。 (3) $0 \le x \le 2$ における $f(x)$ の最小値が $-2$ 以上となるような $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = x^2 - 4ax - 4a + 1$ が与えられている。ただし、$a$ は定数である。

(1) $a = 1$ のとき、$f(x)$ の最小値とそのときの $x$ の値を求める。

(2) $y = f(x)$ のグラフの頂点の座標を $a$ を用いて表し、さらに $f(x)$ の最小値が $0$ であるときの $a$ の値を求める。

(3) $0 \le x \le 2$ における $f(x)$ の最小値が $-2$ 以上となるような $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) $a = 1$ のとき、$f(x) = x^2 - 4x - 4 + 1 = x^2 - 4x - 3$。

平方完成すると、

$f(x) = (x - 2)^2 - 4 - 3 = (x - 2)^2 - 7$。

よって、最小値は $-7$ ($x = 2$ のとき)。

(2) $f(x) = x^2 - 4ax - 4a + 1$ を平方完成する。

$f(x) = (x - 2a)^2 - 4a^2 - 4a + 1$。

よって、頂点の座標は $(2a, -4a^2 - 4a + 1)$。

$f(x)$ の最小値は $-4a^2 - 4a + 1$ で、これが $0$ であるから、

$-4a^2 - 4a + 1 = 0$

$4a^2 + 4a - 1 = 0$

$a = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 16}}{8} = \frac{-4 \pm \sqrt{32}}{8} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{2}}{8} = \frac{-1 \pm \sqrt{2}}{2}$。

(3) $0 \le x \le 2$ における $f(x)$ の最小値を考える。

$f(x) = (x - 2a)^2 - 4a^2 - 4a + 1$

軸は $x = 2a$ である。

(i) $2a < 0$ つまり $a < 0$ のとき、$x = 0$ で最小値をとる。

$f(0) = -4a + 1 \ge -2$

$-4a \ge -3$

$a \le \frac{3}{4}$

よって $a < 0$。

(ii) $0 \le 2a \le 2$ つまり $0 \le a \le 1$ のとき、$x = 2a$ で最小値をとる。

$-4a^2 - 4a + 1 \ge -2$

$4a^2 + 4a - 3 \le 0$

$(2a - 1)(2a + 3) \le 0$

$-\frac{3}{2} \le a \le \frac{1}{2}$

よって $0 \le a \le \frac{1}{2}$。

(iii) $2 < 2a$ つまり $1 < a$ のとき、$x = 2$ で最小値をとる。

$f(2) = 4 - 8a - 4a + 1 = 5 - 12a \ge -2$

$-12a \ge -7$

$a \le \frac{7}{12}$

よって $1 < a \le \frac{7}{12}$ は成り立たない。

(i), (ii), (iii) より、 $a \le \frac{1}{2}$。

3. 最終的な答え

(1) 最小値：$-7$, $x = 2$

(2) 頂点の座標：$(2a, -4a^2 - 4a + 1)$, $a = \frac{-1 \pm \sqrt{2}}{2}$

(3) $a \le \frac{1}{2}$