円Oにおいて、直径をABとする。円周上の点P, Qについて、弧AP = 弧AQとする。弦PQと直径ABの交点をRとする。このとき、PBとQBの大小関係を求める。

1. 問題の内容

円Oにおいて、直径をABとする。円周上の点P, Qについて、弧AP = 弧AQとする。弦PQと直径ABの交点をRとする。このとき、PBとQBの大小関係を求める。

2. 解き方の手順

まず、弧AP=弧AQであることから、円周角の関係より、$\angle ABP = \angle ABQ$が成り立つ。

次に、$\triangle PBR$と$\triangle QBR$において、

* $\angle ABP = \angle ABQ$ (上記の通り)

* $\angle PRB = \angle QRB = 90^\circ$ (弦と直径の交点なので、$PR \perp AB$, $QR \perp AB$。実際には問題文にそのような条件は書かれていないが、図からそのように判断できる。）

* BRは共通

したがって、2角挟辺相等より、$\triangle PBR \equiv \triangle QBR$である。

合同な図形の対応する辺は等しいので、$PB = QB$が成り立つ。

3. 最終的な答え

PB = QB