与えられた集合に関する等式 $A \cup B \cup C = A \cup (B - A \cap B) \cup (C - A \cap C)$ が成り立つことを示す問題です。

1. 問題の内容

与えられた集合に関する等式 $A \cup B \cup C = A \cup (B - A \cap B) \cup (C - A \cap C)$ が成り立つことを示す問題です。

2. 解き方の手順

まず、集合の差の定義を思い出します。 $X - Y = X \cap Y^c$ です。ここで、$Y^c$ は $Y$ の補集合を表します。

したがって、$B - A \cap B = B \cap (A \cap B)^c$ であり、$C - A \cap C = C \cap (A \cap C)^c$ です。

次に、ド・モルガンの法則を使います。 $(A \cap B)^c = A^c \cup B^c$ なので、

$B - A \cap B = B \cap (A^c \cup B^c) = (B \cap A^c) \cup (B \cap B^c) = (B \cap A^c) \cup \emptyset = B \cap A^c$ となります。

同様に、$C - A \cap C = C \cap (A^c \cup C^c) = (C \cap A^c) \cup (C \cap C^c) = (C \cap A^c) \cup \emptyset = C \cap A^c$ となります。

したがって、与えられた等式の右辺は、$A \cup (B - A \cap B) \cup (C - A \cap C) = A \cup (B \cap A^c) \cup (C \cap A^c)$ と書き換えられます。

ここで分配法則を使うと、$(B \cap A^c) \cup (C \cap A^c) = (B \cup C) \cap A^c$ です。

したがって、$A \cup (B - A \cap B) \cup (C - A \cap C) = A \cup ((B \cup C) \cap A^c)$ となります。

さらに、$A \cup ((B \cup C) \cap A^c) = (A \cup (B \cup C)) \cap (A \cup A^c) = (A \cup B \cup C) \cap U = A \cup B \cup C$ となります。ここで、$U$ は普遍集合です。

したがって、$A \cup B \cup C = A \cup (B - A \cap B) \cup (C - A \cap C)$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$A \cup B \cup C = A \cup (B - A \cap B) \cup (C - A \cap C)$