(1) 整式 $P(x) = 3x^3 + 6x^2 + kx + 5$ を $x+3$ で割った余りが $-1$ となるように定数 $k$ の値を定める。 (2) 整式 $P(x) = 6x^3 + kx^2 + 5x + 3$ を $2x+1$ で割った余りが $2$ となるように定数 $k$ の値を定める。 (3) ある整式を $(x+2)(x-3)$ で割ると、余りが $2x+1$ である。この整式を $x-3$ で割った余りを求める。 (4) ある整式を $2x^2+x-1$ で割ると、余りが $4x-1$ である。この整式を $2x-1$ で割った余りを求める。

1. 問題の内容

(1) 整式 $P(x) = 3x^3 + 6x^2 + kx + 5$ を $x+3$ で割った余りが $-1$ となるように定数 $k$ の値を定める。

(2) 整式 $P(x) = 6x^3 + kx^2 + 5x + 3$ を $2x+1$ で割った余りが $2$ となるように定数 $k$ の値を定める。

(3) ある整式を $(x+2)(x-3)$ で割ると、余りが $2x+1$ である。この整式を $x-3$ で割った余りを求める。

(4) ある整式を $2x^2+x-1$ で割ると、余りが $4x-1$ である。この整式を $2x-1$ で割った余りを求める。

2. 解き方の手順

(1) 剰余の定理より、$P(-3) = -1$。よって、

$3(-3)^3 + 6(-3)^2 + k(-3) + 5 = -1$

$-81 + 54 - 3k + 5 = -1$

$-22 - 3k = -1$

$-3k = 21$

$k = -7$

(2) 剰余の定理より、$P(-\frac{1}{2}) = 2$。よって、

$6(-\frac{1}{2})^3 + k(-\frac{1}{2})^2 + 5(-\frac{1}{2}) + 3 = 2$

$-\frac{6}{8} + \frac{k}{4} - \frac{5}{2} + 3 = 2$

$-\frac{3}{4} + \frac{k}{4} - \frac{10}{4} + \frac{12}{4} = 2$

$-\frac{1}{4} + \frac{k}{4} = 2$

$\frac{k}{4} = \frac{9}{4}$

$k = 9$

(3) ある整式を $Q(x)$ とすると、$Q(x) = (x+2)(x-3)A(x) + 2x+1$ と表せる。$A(x)$ は商である。

$Q(3)$ を求める。

$Q(3) = (3+2)(3-3)A(3) + 2(3) + 1$

$Q(3) = 0 + 6 + 1$

$Q(3) = 7$

よって、余りは7。

(4) ある整式を $R(x)$ とすると、$R(x) = (2x^2+x-1)B(x) + 4x-1$ と表せる。$B(x)$ は商である。

$2x^2+x-1 = (2x-1)(x+1)$ より、$R(x) = (2x-1)(x+1)B(x) + 4x-1$

$R(x)$ を $2x-1$ で割った余りを求めるので、$x = \frac{1}{2}$ を代入する。

$R(\frac{1}{2}) = (2(\frac{1}{2})-1)(\frac{1}{2}+1)B(\frac{1}{2}) + 4(\frac{1}{2})-1$

$R(\frac{1}{2}) = (1-1)(\frac{3}{2})B(\frac{1}{2}) + 2 - 1$

$R(\frac{1}{2}) = 0 + 1$

$R(\frac{1}{2}) = 1$

よって、余りは1。

3. 最終的な答え

(1) $k=-7$

(2) $k=9$

(3) 7

(4) 1