$2x + y + z = 8$ を満たす正の整数の組 $(x, y, z)$ は何個あるか。

1. 問題の内容

$2x + y + z = 8$ を満たす正の整数の組 $(x, y, z)$ は何個あるか。

2. 解き方の手順

$x, y, z$ は正の整数なので、$x \ge 1, y \ge 1, z \ge 1$ である。

まず、$x$ の取りうる値を考える。

$x = 1$ のとき、$2(1) + y + z = 8$ より、$y + z = 6$ となる。

$y, z$ は正の整数なので、$y = 1$ のとき $z = 5$, $y = 2$ のとき $z = 4$, $y = 3$ のとき $z = 3$, $y = 4$ のとき $z = 2$, $y = 5$ のとき $z = 1$ となる。よって、$(y, z)$ の組み合わせは 5 通り。

$x = 2$ のとき、$2(2) + y + z = 8$ より、$y + z = 4$ となる。

$y, z$ は正の整数なので、$y = 1$ のとき $z = 3$, $y = 2$ のとき $z = 2$, $y = 3$ のとき $z = 1$ となる。よって、$(y, z)$ の組み合わせは 3 通り。

$x = 3$ のとき、$2(3) + y + z = 8$ より、$y + z = 2$ となる。

$y, z$ は正の整数なので、$y = 1$ のとき $z = 1$ となる。よって、$(y, z)$ の組み合わせは 1 通り。

$x \ge 4$ のとき、$2x \ge 8$ となり、$y + z$ は正の整数にならないので不適。

したがって、$(x, y, z)$ の組み合わせは、$5 + 3 + 1 = 9$ 通り。

3. 最終的な答え

9個