$\sin x = \frac{\sqrt{5}}{3}$ (ただし $0^\circ \le x \le 90^\circ$) のとき、$\cos x$, $\tan x$, $\cos 2x$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\sin x = \frac{\sqrt{5}}{3}$ (ただし $0^\circ \le x \le 90^\circ$) のとき、$\cos x$, $\tan x$, $\cos 2x$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ を利用して $\cos x$ を求めます。

$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - (\frac{\sqrt{5}}{3})^2 = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$

$0^\circ \le x \le 90^\circ$ より $\cos x \ge 0$ なので、

$\cos x = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$

次に、$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ を利用して $\tan x$ を求めます。

$\tan x = \frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

最後に、$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ を利用して $\cos 2x$ を求めます。

$\cos 2x = (\frac{2}{3})^2 - (\frac{\sqrt{5}}{3})^2 = \frac{4}{9} - \frac{5}{9} = -\frac{1}{9}$

3. 最終的な答え

$\cos x = \frac{2}{3}$

$\tan x = \frac{\sqrt{5}}{2}$

$\cos 2x = -\frac{1}{9}$