大小2つのサイコロを同時に投げたとき、大きいサイコロの出目を$X$、小さいサイコロの出目を$Y$とする。$T = 2X - Y$とするとき、以下の問題を解く。 (1) $P(T=6)$と$P(T \ge 0)$を求めよ。 (2) $V(X)$と$E(T)$を求めよ。

1. 問題の内容

大小2つのサイコロを同時に投げたとき、大きいサイコロの出目を$X$、小さいサイコロの出目を$Y$とする。$T = 2X - Y$とするとき、以下の問題を解く。

(1) $P(T=6)$と$P(T \ge 0)$を求めよ。

(2) $V(X)$と$E(T)$を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $P(T=6)$を求める。$T = 2X - Y = 6$となるのは、

$(X,Y) = (4,2), (5,4), (6,6)$の3通り。

したがって、

$P(T=6) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$

$P(T \ge 0)$を求める。$T = 2X - Y \ge 0$すなわち$2X \ge Y$となる確率を求める。

$X = 1$のとき、$Y = 1, 2$の2通り

$X = 2$のとき、$Y = 1, 2, 3, 4$の4通り

$X = 3$のとき、$Y = 1, 2, 3, 4, 5, 6$の6通り

$X = 4$のとき、$Y = 1, 2, 3, 4, 5, 6$の6通り

$X = 5$のとき、$Y = 1, 2, 3, 4, 5, 6$の6通り

$X = 6$のとき、$Y = 1, 2, 3, 4, 5, 6$の6通り

合計$2 + 4 + 6 + 6 + 6 + 6 = 30$通り。

したがって、$P(T \ge 0) = \frac{30}{36} = \frac{5}{6}$

(2) $V(X)$と$E(T)$を求める。

$X$は大きいサイコロの出目なので、$X$の確率分布は次のようになる。

$P(X=k) = \frac{1}{6}$ for $k = 1, 2, 3, 4, 5, 6$

$E(X) = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2}$

$E(X^2) = \frac{1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2}{6} = \frac{91}{6}$

$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{91}{6} - (\frac{7}{2})^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{182-147}{12} = \frac{35}{12}$

$Y$は小さいサイコロの出目なので、$Y$の確率分布は$X$と同様である。

$E(Y) = \frac{7}{2}$

$E(T) = E(2X - Y) = 2E(X) - E(Y) = 2(\frac{7}{2}) - \frac{7}{2} = \frac{7}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $P(T=6) = \frac{1}{12}$、 $P(T \ge 0) = \frac{5}{6}$

(2) $V(X) = \frac{35}{12}$、 $E(T) = \frac{7}{2}$