数列 $\{a_n\}$ が漸化式 $a_1 = 3$, $a_{k+1} = \frac{a_k}{a_k + 2}$ ($k = 1, 2, 3, ...$) で定義されているとき、$a_n = \frac{3}{2^{n+1} - 3}$ であることを数学的帰納法で証明する。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が漸化式 $a_1 = 3$, $a_{k+1} = \frac{a_k}{a_k + 2}$ ($k = 1, 2, 3, ...$) で定義されているとき、$a_n = \frac{3}{2^{n+1} - 3}$ であることを数学的帰納法で証明する。

2. 解き方の手順

(1) $n=1$ のとき、$a_1 = 3$ であり、$\frac{3}{2^{1+1} - 3} = \frac{3}{2^2 - 3} = \frac{3}{4 - 3} = 3$ となるので、$a_1 = \frac{3}{2^{1+1} - 3}$ が成り立つ。

(2) $n=k$ のとき、$a_k = \frac{3}{2^{k+1} - 3}$ が成り立つと仮定する。

このとき、$n=k+1$ のとき、$a_{k+1} = \frac{3}{2^{(k+1)+1} - 3}$ が成り立つことを示す。

漸化式より、$a_{k+1} = \frac{a_k}{a_k + 2}$ である。

$a_k = \frac{3}{2^{k+1} - 3}$ を代入すると、

$$a_{k+1} = \frac{\frac{3}{2^{k+1} - 3}}{\frac{3}{2^{k+1} - 3} + 2} = \frac{\frac{3}{2^{k+1} - 3}}{\frac{3 + 2(2^{k+1} - 3)}{2^{k+1} - 3}} = \frac{3}{3 + 2^{k+2} - 6} = \frac{3}{2^{k+2} - 3}$$

これは、$a_{k+1} = \frac{3}{2^{(k+1)+1} - 3}$ を示しているので、$n=k+1$ のときも成り立つ。

したがって、数学的帰納法により、$a_n = \frac{3}{2^{n+1} - 3}$ がすべての自然数 $n$ に対して成り立つ。

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{3}{2^{n+1} - 3}$