$f(x) = -x^2 + 4ax + 1$という2次関数について、以下の3つの問いに答えます。 (1) $y = f(x)$のグラフが点(2, 5)を通るときの$a$の値を求めます。 (2) $2 \le x \le 4$における$f(x)$の最小値を、$a$の値によって場合分けして求めます。 (3) $2 < x < 4$のすべての$x$で$f(x) > 0$となるときの、$a$のとり得る値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

$f(x) = -x^2 + 4ax + 1$という2次関数について、以下の3つの問いに答えます。

(1) $y = f(x)$のグラフが点(2, 5)を通るときの$a$の値を求めます。

(2) $2 \le x \le 4$における$f(x)$の最小値を、$a$の値によって場合分けして求めます。

(3) $2 < x < 4$のすべての$x$で$f(x) > 0$となるときの、$a$のとり得る値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $y = f(x)$のグラフが点(2, 5)を通るということは、$f(2) = 5$が成り立つということです。

$f(2) = -(2)^2 + 4a(2) + 1 = -4 + 8a + 1 = 8a - 3$

$8a - 3 = 5$

$8a = 8$

$a = 1$

(2) $f(x) = -x^2 + 4ax + 1$を平方完成します。

$f(x) = -(x^2 - 4ax) + 1 = -(x^2 - 4ax + 4a^2 - 4a^2) + 1 = -(x - 2a)^2 + 4a^2 + 1$

軸は$x = 2a$です。定義域は$2 \le x \le 4$です。

(i) $2a < 2$ つまり $a < 1$のとき、最小値は$f(4)$です。

$f(4) = -4^2 + 4a(4) + 1 = -16 + 16a + 1 = 16a - 15$

(ii) $2 \le 2a \le 4$ つまり $1 \le a \le 2$のとき、最小値は頂点の$y$座標である$4a^2 + 1$です。

(iii) $2a > 4$ つまり $a > 2$のとき、最小値は$f(2)$です。

$f(2) = -2^2 + 4a(2) + 1 = -4 + 8a + 1 = 8a - 3$

まとめると、

$a < 1$のとき、最小値は$16a - 15$

$1 \le a \le 2$のとき、最小値は$4a^2 + 1$

$a > 2$のとき、最小値は$8a - 3$

問題文の形式に合わせると、

$a < 1$のとき、$16a - 15$

$1 \le a$のとき、$4a^2 + 1$ (ただし、$1 \le a \le 2$のみを考える)

(3) $2 < x < 4$のすべての$x$で$f(x) > 0$となる条件を考えます。

$f(x) = -x^2 + 4ax + 1 > 0$

まず、$f(2) \ge 0$かつ$f(4) \ge 0$が必要です。

$f(2) = 8a - 3 \ge 0$より、$a \ge \frac{3}{8}$

$f(4) = 16a - 15 \ge 0$より、$a \ge \frac{15}{16}$

また、軸$x = 2a$が区間$2 < x < 4$に含まれるとき、頂点の$y$座標が正である必要があります。

$2 < 2a < 4$つまり$1 < a < 2$のとき、$4a^2 + 1 > 0$は常に成り立ちます。

$a \le 1$のとき、$f(x)$は$x=2$で最小となるため、$f(2) > 0$であればよいので、$a > \frac{3}{8}$

$a \ge 2$のとき、$f(x)$は$x=4$で最小となるため、$f(4) > 0$であればよいので、$a > \frac{15}{16}$

したがって、$a > \frac{15}{16}$が必要条件です。

$f(x) = -x^2 + 4ax + 1$

$f(x) > 0$ を $2 < x < 4$ で満たすためには、$a > \frac{x^2 - 1}{4x}$ が $2 < x < 4$ で成立する必要があります。

$g(x) = \frac{x^2 - 1}{4x} = \frac{x}{4} - \frac{1}{4x}$

$g'(x) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4x^2} > 0$ なので、$g(x)$は単調増加です。

よって、$x=4$のとき、$g(4) = \frac{16 - 1}{16} = \frac{15}{16}$が最大値なので、$a > \frac{15}{16}$

3. 最終的な答え

(1) ア: 1

(2) イ: 1, ウ: 1, エオ: 16, カキ: 15, ク: 4, ケ: -1

(3) コ: 0, サシ: 15, スセ: 16