$a$を定数とする。関数 $y=2x^2-4ax+2a^2$ ($0 \le x \le 1$) の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$を定数とする。関数 $y=2x^2-4ax+2a^2$ ($0 \le x \le 1$) の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = 2x^2 - 4ax + 2a^2 = 2(x^2 - 2ax) + 2a^2 = 2(x^2 - 2ax + a^2 - a^2) + 2a^2 = 2(x - a)^2 - 2a^2 + 2a^2 = 2(x - a)^2$

したがって、$y = 2(x - a)^2$ となります。

これは、頂点が $(a, 0)$ で、下に凸の放物線です。 定義域は $0 \le x \le 1$ であるので、軸 $x = a$ が定義域に対してどこにあるかで、最小値が変わってきます。以下の3つの場合に分けて考えます。

(1) $a < 0$ の場合:

このとき、軸は定義域の左側にあります。したがって、$x = 0$ が定義域内で軸から最も遠い点になります。この場合、最小値は $x = 0$ でとります。

$y = 2(0 - a)^2 = 2a^2$

(2) $0 \le a \le 1$ の場合:

このとき、軸は定義域内にあります。したがって、$x = a$ で最小値をとります。この場合、最小値は $0$ です。

$y = 2(a - a)^2 = 0$

(3) $a > 1$ の場合:

このとき、軸は定義域の右側にあります。したがって、$x = 1$ が定義域内で軸から最も遠い点になります。この場合、最小値は $x = 1$ でとります。

$y = 2(1 - a)^2 = 2(1 - 2a + a^2) = 2a^2 - 4a + 2$

したがって、最小値は以下のようになります。

$a < 0$ のとき、最小値は $2a^2$

$0 \le a \le 1$ のとき、最小値は $0$

$a > 1$ のとき、最小値は $2a^2 - 4a + 2$

3. 最終的な答え

$a < 0$ のとき、最小値は $2a^2$

$0 \le a \le 1$ のとき、最小値は $0$

$a > 1$ のとき、最小値は $2a^2 - 4a + 2$