関数 $y = a\cos^2\theta + 4\sqrt{3}\sin\theta\cos\theta + 3$ があり、$\theta = \frac{\pi}{6}$ のとき $y = 3$ である。このとき、定数 $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = a\cos^2\theta + 4\sqrt{3}\sin\theta\cos\theta + 3$ があり、$\theta = \frac{\pi}{6}$ のとき $y = 3$ である。このとき、定数 $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた $\theta = \frac{\pi}{6}$ を関数に代入する。

$\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$

$\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

これらの値を関数に代入すると、

$y = a\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + 4\sqrt{3}\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 3$

$y = a\left(\frac{3}{4}\right) + 4\sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right) + 3$

$y = \frac{3}{4}a + 4\sqrt{3}\frac{\sqrt{3}}{4} + 3$

$y = \frac{3}{4}a + \frac{4 \cdot 3}{4} + 3$

$y = \frac{3}{4}a + 3 + 3$

$y = \frac{3}{4}a + 6$

$\theta = \frac{\pi}{6}$ のとき、$y = 3$ であるから、

$3 = \frac{3}{4}a + 6$

$\frac{3}{4}a = 3 - 6$

$\frac{3}{4}a = -3$

$a = -3 \cdot \frac{4}{3}$

$a = -4$

3. 最終的な答え

$a = -4$