$\sqrt{120-3x}$ が整数となるような自然数 $x$ をすべて求める問題です。

1. 問題の内容

$\sqrt{120-3x}$ が整数となるような自然数 $x$ をすべて求める問題です。

2. 解き方の手順

$\sqrt{120-3x}$ が整数になるためには、$120-3x$ が0以上の平方数である必要があります。つまり、$120-3x = k^2$ となる0以上の整数 $k$ が存在する必要があります。

$120-3x = k^2$ を $x$ について解くと、

$3x = 120 - k^2$

$x = \frac{120 - k^2}{3}$

$x$ は自然数なので、$x > 0$ である必要があります。したがって、

$\frac{120 - k^2}{3} > 0$

$120 - k^2 > 0$

$k^2 < 120$

また、$x$ は整数である必要があるので、$120 - k^2$ が3で割り切れる必要があります。つまり、$120 - k^2 \equiv 0 \pmod{3}$。

$120 \equiv 0 \pmod{3}$ なので、$k^2 \equiv 0 \pmod{3}$。これは、$k$ が3の倍数であることを意味します。

よって、$k = 3n$ とおけます。

$k^2 < 120$ より、$(3n)^2 < 120$ なので、$9n^2 < 120$。

$n^2 < \frac{120}{9} = \frac{40}{3} = 13.333...$

したがって、$n$ は0以上の整数で、$n = 0, 1, 2, 3$ となります。

それぞれの場合について、$x$ を計算します。

* $n = 0$ のとき、$k = 0$ であり、$x = \frac{120 - 0}{3} = 40$。

* $n = 1$ のとき、$k = 3$ であり、$x = \frac{120 - 9}{3} = \frac{111}{3} = 37$。

* $n = 2$ のとき、$k = 6$ であり、$x = \frac{120 - 36}{3} = \frac{84}{3} = 28$。

* $n = 3$ のとき、$k = 9$ であり、$x = \frac{120 - 81}{3} = \frac{39}{3} = 13$。

3. 最終的な答え

$x = 13, 28, 37, 40$