$x+y = \sqrt{5}$, $xy = 2$ のとき、$x^2 + y^2$ の値を求めよ。

## Ex.1 (1) の問題

1. 問題の内容

$x+y = \sqrt{5}$, $xy = 2$ のとき、$x^2 + y^2$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ であることを利用する。

まず、$(x+y)^2$ を計算する。

$$(x+y)^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$$

次に、$x^2 + y^2$ を $(x+y)^2$ と $xy$ を使って表す。

$$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$$

与えられた値を代入して計算する。

$$x^2 + y^2 = 5 - 2(2) = 5 - 4 = 1$$

3. 最終的な答え

$x^2 + y^2 = 1$

## Ex.1 (2) の問題

1. 問題の内容

$x = \sqrt{5} + 1$, $y = \sqrt{5} - 1$ のとき、$x^2 - y^2$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$x^2 - y^2$ を因数分解する。

$$x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$$

$x+y$ と $x-y$ を計算する。

$$x+y = (\sqrt{5}+1) + (\sqrt{5}-1) = 2\sqrt{5}$$

$$x-y = (\sqrt{5}+1) - (\sqrt{5}-1) = 2$$

これらの値を代入して計算する。

$$x^2 - y^2 = (2\sqrt{5})(2) = 4\sqrt{5}$$

3. 最終的な答え

$x^2 - y^2 = 4\sqrt{5}$

## Ex.2 (1) の問題

1. 問題の内容

$\sqrt{7}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、$a$, $b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$\sqrt{7}$ の値がどの整数の間にあるかを考える。

$2^2 = 4$ であり、$3^2 = 9$ であるから、$2 < \sqrt{7} < 3$ である。

したがって、$\sqrt{7}$ の整数部分は $a=2$ である。

小数部分は $b = \sqrt{7} - a = \sqrt{7} - 2$ である。

3. 最終的な答え

$a = 2$, $b = \sqrt{7} - 2$

## Ex.2 (2) の問題

1. 問題の内容

$\sqrt{39}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、$a$, $b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$\sqrt{39}$ の値がどの整数の間にあるかを考える。

$6^2 = 36$ であり、$7^2 = 49$ であるから、$6 < \sqrt{39} < 7$ である。

したがって、$\sqrt{39}$ の整数部分は $a=6$ である。

小数部分は $b = \sqrt{39} - a = \sqrt{39} - 6$ である。

3. 最終的な答え

$a = 6$, $b = \sqrt{39} - 6$

## Ex.2 (3) の問題

1. 問題の内容

$3\sqrt{10}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、$a$, $b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$3\sqrt{10} = \sqrt{9 \times 10} = \sqrt{90}$ である。

$\sqrt{90}$ の値がどの整数の間にあるかを考える。

$9^2 = 81$ であり、$10^2 = 100$ であるから、$9 < \sqrt{90} < 10$ である。

したがって、$3\sqrt{10}$ の整数部分は $a=9$ である。

小数部分は $b = 3\sqrt{10} - a = 3\sqrt{10} - 9$ である。

3. 最終的な答え

$a = 9$, $b = 3\sqrt{10} - 9$

## Ex.3 の問題

1. 問題の内容

$\sqrt{5}$ の小数部分を $a$ とするとき、$a^2 + 5a + 6$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$\sqrt{5}$ の整数部分を求める。$2^2 = 4$ であり、$3^2 = 9$ であるから、$2 < \sqrt{5} < 3$ である。

したがって、$\sqrt{5}$ の整数部分は $2$ である。

小数部分 $a$ は $\sqrt{5} - 2$ である。

$a = \sqrt{5} - 2$ を $a^2 + 5a + 6$ に代入する。

$$a^2 + 5a + 6 = (\sqrt{5}-2)^2 + 5(\sqrt{5}-2) + 6$$

$$= (5 - 4\sqrt{5} + 4) + (5\sqrt{5} - 10) + 6$$

$$= 9 - 4\sqrt{5} + 5\sqrt{5} - 10 + 6$$

$$= (9-10+6) + (-4\sqrt{5} + 5\sqrt{5})$$

$$= 5 + \sqrt{5}$$

3. 最終的な答え

$a^2 + 5a + 6 = 5 + \sqrt{5}$