$x$ に関する3次方程式 $x^3 - ax + 2 = 0$ が異なる2つの実数解を持つような $a$ の値と、実数解をただ1つ持つような $a$ の値のうち、最大の整数を求める問題です。問題文には $a=3$ と $a=4$ が答えとして書かれていますが、どのように導出されたのかを説明します。

1. 問題の内容

$x$ に関する3次方程式 $x^3 - ax + 2 = 0$ が異なる2つの実数解を持つような $a$ の値と、実数解をただ1つ持つような $a$ の値のうち、最大の整数を求める問題です。問題文には $a=3$ と $a=4$ が答えとして書かれていますが、どのように導出されたのかを説明します。

2. 解き方の手順

与えられた方程式を $f(x) = x^3 - ax + 2 = 0$ とおきます。

$f(x) = 0$ が異なる2つの実数解を持つためには、$f(x)$ が極値を持ち、極大値または極小値が0になる必要があります。$f'(x) = 3x^2 - a$ となります。

$f'(x) = 0$ となる $x$ の値は $x = \pm \sqrt{\frac{a}{3}}$ です。$a > 0$ である必要があります。

$f(x)$ が極値を持つためには、$f'(x) = 0$ となる $x$ の値が異なる2つ存在する必要があるからです。

$x = \alpha, \beta$ で極値を持つとします。$f(\alpha) = 0$ または $f(\beta) = 0$ である必要があります。

また、$f(\alpha)f(\beta) = 0$ が必要です。

$f'(x) = 3x^2 - a$ より、$f'(x) = 0$ の解は $x = \pm \sqrt{\frac{a}{3}}$ です。

$f(x) = x^3 - ax + 2$ に $x = \pm \sqrt{\frac{a}{3}}$ を代入すると、

$f(\sqrt{\frac{a}{3}}) = (\frac{a}{3})^{\frac{3}{2}} - a \sqrt{\frac{a}{3}} + 2 = (\frac{a}{3})^{\frac{3}{2}} - 3 (\frac{a}{3})^{\frac{3}{2}} + 2 = -2 (\frac{a}{3})^{\frac{3}{2}} + 2$

$f(-\sqrt{\frac{a}{3}}) = -(\frac{a}{3})^{\frac{3}{2}} + a \sqrt{\frac{a}{3}} + 2 = -(\frac{a}{3})^{\frac{3}{2}} + 3 (\frac{a}{3})^{\frac{3}{2}} + 2 = 2 (\frac{a}{3})^{\frac{3}{2}} + 2$

$f(\sqrt{\frac{a}{3}}) = 0$ のとき、$-2 (\frac{a}{3})^{\frac{3}{2}} + 2 = 0$ より $(\frac{a}{3})^{\frac{3}{2}} = 1$ なので $\frac{a}{3} = 1$ となり、$a = 3$ です。

$f(-\sqrt{\frac{a}{3}}) = 0$ のとき、$2 (\frac{a}{3})^{\frac{3}{2}} + 2 = 0$ となりますが、これは $(\frac{a}{3})^{\frac{3}{2}} = -1$ となり、実数解を持たないため不適です。

$a=3$ のとき、$x^3 - 3x + 2 = 0$ を解くと、$(x-1)^2(x+2) = 0$ より $x=1, -2$ となり、確かに異なる2つの実数解を持ちます。

実数解をただ1つ持つような $a$ の値の範囲を考えます。$f(x) = x^3 - ax + 2$ のグラフを考えます。$a < 3$ の時、実数解を1つ持ちます。$a$ を大きくすると $f(x) = 0$ の解が1つになることがあります。

$f'(x) = 3x^2 - a = 0$ となる $x$ の値は $x = \pm \sqrt{\frac{a}{3}}$ です。このとき極大値と極小値を持つので、$f(\sqrt{\frac{a}{3}}) f(-\sqrt{\frac{a}{3}}) > 0$ であれば実数解を1つだけ持ちます。

$f(\sqrt{\frac{a}{3}}) f(-\sqrt{\frac{a}{3}}) = ( -2 (\frac{a}{3})^{\frac{3}{2}} + 2 ) ( 2 (\frac{a}{3})^{\frac{3}{2}} + 2 ) = 4 - 4 (\frac{a}{3})^3 > 0$

$1 > (\frac{a}{3})^3$ より $1 > \frac{a}{3}$ なので、$3 > a$ です。

$4 - 4 (\frac{a}{3})^3 = 0$ のとき、$a = 3$ です。

$f(x) = x^3 - ax + 2 = 0$ が $x=-2$ を解に持つとき、$(-2)^3 - a(-2) + 2 = -8 + 2a + 2 = 0$ より $2a = 6$ なので $a = 3$ です。

$f(x)$ が極大値と極小値を持たない場合、$f'(x) = 3x^2 - a = 0$ が実数解を持たない場合なので、$a < 0$ です。

$a > 3$ のときを考えます。$4 - 4 (\frac{a}{3})^3 > 0$ が成り立たないとき、実数解を1つだけ持ちます。

$\frac{a}{3} > 1$ なので $a > 3$ です。

$f(2) = 8 - 2a + 2 = 10 - 2a$.

$a=4$ のとき、$f(2) = 10-8 = 2$.

$f(-3) = -27 + 12 + 2 = -13$.

したがって、求める最大の整数は 3 です。

3. 最終的な答え

異なる2つの実数解を持つような $a$ の値: 3

実数解をただ1つ持つような $a$ の値のうち、最大の整数: 3