$x$は実数、$n$は整数とする。次の4つの命題の真偽を調べよ。 (1) $x^2 = x \implies x = 1$ (2) $n$が4の倍数 $\implies n^2$が8の倍数 (3) $-7 < x < \sqrt{7} \implies x < 3$ (4) $|n| < 1 \implies n = 0$

1. 問題の内容

$x$は実数、$n$は整数とする。次の4つの命題の真偽を調べよ。

(1) $x^2 = x \implies x = 1$

(2) $n$が4の倍数 $\implies n^2$が8の倍数

(3) $-7 < x < \sqrt{7} \implies x < 3$

(4) $|n| < 1 \implies n = 0$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 = x$ を満たす $x$ を求める。

$x^2 - x = 0$

$x(x - 1) = 0$

よって、$x = 0$ または $x = 1$。

したがって、$x^2 = x$ ならば必ず $x = 1$ とは限らないので、偽。

(2) $n$が4の倍数であるとき、$n = 4k$ ($k$は整数) と表せる。

このとき、$n^2 = (4k)^2 = 16k^2 = 8(2k^2)$ となる。

$2k^2$は整数なので、$n^2$は8の倍数である。

したがって、真。

(3) $-7 < x < \sqrt{7}$ という条件を満たす $x$ は、$x < 3$ を満たすかどうかを調べる。

$\sqrt{7}$ は2と3の間にある数である（$2 < \sqrt{7} < 3$）。

したがって、$-7 < x < \sqrt{7}$ ならば、$x < 3$ は常に成り立つ。

したがって、真。

(4) $|n| < 1$ という条件を満たす整数 $n$ を求める。

$-1 < n < 1$ を満たす整数 $n$ は、$n = 0$ のみである。

したがって、$|n| < 1$ ならば $n = 0$ が成り立つ。

したがって、真。

3. 最終的な答え

(1) 偽

(2) 真

(3) 真

(4) 真