関数 $y = -\frac{1}{3}x^2$ のグラフと直線 $l$ が2点A, Bで交わっている。点Aの$x$座標が-3、点Bの$x$座標が9であるとき、以下の問題を解く。 (1) $\triangle OAB$ の面積を求める。 (2) 原点Oを通り、$\triangle OAB$ の面積を2等分する直線の式を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = -\frac{1}{3}x^2$ のグラフと直線 $l$ が2点A, Bで交わっている。点Aの$x$座標が-3、点Bの$x$座標が9であるとき、以下の問題を解く。

(1) $\triangle OAB$ の面積を求める。

(2) 原点Oを通り、$\triangle OAB$ の面積を2等分する直線の式を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle OAB$ の面積を求める。

まず、点Aと点Bの座標を求める。

点Aの$x$座標は-3なので、$y = -\frac{1}{3}(-3)^2 = -\frac{1}{3}(9) = -3$。よって、点Aの座標は(-3, -3)。

点Bの$x$座標は9なので、$y = -\frac{1}{3}(9)^2 = -\frac{1}{3}(81) = -27$。よって、点Bの座標は(9, -27)。

直線ABの方程式を $y = ax + b$ とおく。

点A(-3, -3)を通るので、$-3 = -3a + b$。

点B(9, -27)を通るので、$-27 = 9a + b$。

この2つの式を連立して解く。

$-27 - (-3) = 9a - (-3a)$

$-24 = 12a$

$a = -2$

$-3 = -3(-2) + b$

$-3 = 6 + b$

$b = -9$

よって、直線ABの方程式は $y = -2x - 9$。

$\triangle OAB$ の面積は、直線ABと原点Oとの距離を高さ、$AB$を底辺とする三角形の面積を計算することで求める。

直線 $2x + y + 9 = 0$ と原点(0, 0)との距離は

$d = \frac{|2(0) + (0) + 9|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{9}{\sqrt{5}} = \frac{9\sqrt{5}}{5}$

$AB = \sqrt{(9-(-3))^2 + (-27-(-3))^2} = \sqrt{12^2 + (-24)^2} = \sqrt{144 + 576} = \sqrt{720} = 12\sqrt{5}$

$\triangle OAB$ の面積は、座標を用いた方法で計算する。

$\triangle OAB = \frac{1}{2} |(-3)(-27) - (9)(-3)| = \frac{1}{2} |81 + 27| = \frac{1}{2} |108| = 54$

(2) 原点Oを通り、$\triangle OAB$ の面積を2等分する直線の式を求める。

$\triangle OAB$ の面積を2等分する直線は、線分ABの中点を通る。

線分ABの中点Mの座標は $\left(\frac{-3+9}{2}, \frac{-3-27}{2}\right) = \left(\frac{6}{2}, \frac{-30}{2}\right) = (3, -15)$。

原点O(0, 0)と中点M(3, -15)を通る直線の傾きは $\frac{-15-0}{3-0} = \frac{-15}{3} = -5$。

よって、求める直線の式は $y = -5x$。

3. 最終的な答え

(1) $\triangle OAB$ の面積: 54

(2) 原点Oを通り、$\triangle OAB$ の面積を2等分する直線の式: $y = -5x$