直方体ABCD-EFGHにおいて、$\overrightarrow{AC} = \vec{a}$, $\overrightarrow{AF} = \vec{b}$, $\overrightarrow{AG} = \vec{c}$とする。また、$\overrightarrow{AD} = \vec{x}$, $\overrightarrow{AE} = \vec{y}$, $\overrightarrow{AB} = \vec{z}$とする。 (1) $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$を$\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}$を用いて表せ。 (2) (1)で得られた3式を三元一次方程式として解くことにより、$\overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE}, \overrightarrow{AB}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$を用いて表せ。

1. 問題の内容

直方体ABCD-EFGHにおいて、$\overrightarrow{AC} = \vec{a}$, $\overrightarrow{AF} = \vec{b}$, $\overrightarrow{AG} = \vec{c}$とする。また、$\overrightarrow{AD} = \vec{x}$, $\overrightarrow{AE} = \vec{y}$, $\overrightarrow{AB} = \vec{z}$とする。

(1) $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$を$\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}$を用いて表せ。

(2) (1)で得られた3式を三元一次方程式として解くことにより、$\overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE}, \overrightarrow{AB}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$を用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1)

$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB}$より、

$\vec{a} = \vec{x} + \vec{z}$

$\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{AB}$より、

$\vec{b} = \vec{y} + \vec{z}$

$\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DG} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{AB}$より、

$\vec{c} = \vec{x} + \vec{y} + \vec{z}$

(2)

(1)の結果から、以下の連立方程式を得る。

$\vec{x} + \vec{z} = \vec{a}$ (1)

$\vec{y} + \vec{z} = \vec{b}$ (2)

$\vec{x} + \vec{y} + \vec{z} = \vec{c}$ (3)

(3) - (1)より、

$\vec{y} = \vec{c} - \vec{a}$

(3) - (2)より、

$\vec{x} = \vec{c} - \vec{b}$

(1)に$\vec{x} = \vec{c} - \vec{b}$を代入して、

$\vec{c} - \vec{b} + \vec{z} = \vec{a}$

$\vec{z} = \vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$

したがって、

$\overrightarrow{AD} = \vec{x} = \vec{c} - \vec{b}$

$\overrightarrow{AE} = \vec{y} = \vec{c} - \vec{a}$

$\overrightarrow{AB} = \vec{z} = \vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$

3. 最終的な答え

(1)

$\vec{a} = \vec{x} + \vec{z}$

$\vec{b} = \vec{y} + \vec{z}$

$\vec{c} = \vec{x} + \vec{y} + \vec{z}$

(2)

$\overrightarrow{AD} = \vec{c} - \vec{b}$

$\overrightarrow{AE} = \vec{c} - \vec{a}$

$\overrightarrow{AB} = \vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$