一辺の長さが5の立方体において、BHとDFの交点をKとするとき、∠BKF = α として、cos α を求める。

1. 問題の内容

一辺の長さが5の立方体において、BHとDFの交点をKとするとき、∠BKF = α として、cos α を求める。

2. 解き方の手順

まず、立方体の一辺の長さを $a=5$ とおく。

点KはBHとDFの交点である。

BHとDFはそれぞれ正方形BFHDの対角線であるので、Kは正方形BFHDの中心であり、

$BK = \frac{\sqrt{2}}{2}BF = \frac{\sqrt{2}}{2} (5\sqrt{2}) = 5$

また、$FK = \frac{1}{2}DF = \frac{1}{2} (5\sqrt{2}) = \frac{5\sqrt{2}}{2}$

また、$BF = 5\sqrt{2}$

$\triangle BKF$ において余弦定理を用いると、

$BF^2 = BK^2 + FK^2 - 2 \cdot BK \cdot FK \cdot \cos{\alpha}$

$(5\sqrt{2})^2 = 5^2 + (\frac{5\sqrt{2}}{2})^2 - 2 \cdot 5 \cdot \frac{5\sqrt{2}}{2} \cos{\alpha}$

$50 = 25 + \frac{50}{4} - 25\sqrt{2} \cos{\alpha}$

$25 = \frac{25}{2} - 25\sqrt{2} \cos{\alpha}$

$1 = \frac{1}{2} - \sqrt{2} \cos{\alpha}$

$\frac{1}{2} = - \sqrt{2} \cos{\alpha}$

$\cos{\alpha} = - \frac{1}{2\sqrt{2}}$

$\cos{\alpha} = - \frac{\sqrt{2}}{4}$

3. 最終的な答え

$\cos{\alpha} = -\frac{\sqrt{2}}{4}$