一辺が5の立方体において、BHとDFの交点をKとするとき、∠BKFをαとおき、cosαを求める問題。

1. 問題の内容

一辺が5の立方体において、BHとDFの交点をKとするとき、∠BKFをαとおき、cosαを求める問題。

2. 解き方の手順

(1) まず、△BKFがどのような三角形であるかを考察する。

立方体の対称性より、BHとDFは交わることがわかる。交点をKとする。

まず、BF = 5。次に、BKとFKの長さを求める必要がある。

(2) KはDFの中点であることから、FK = DF/2 である。

DFは、問題文の例題18-1より $DF = 5\sqrt{3}$ であるから、$FK = \frac{5\sqrt{3}}{2}$ となる。

(3) 次に、BKの長さを求める。

立方体の対角線であるBHの長さを求めると、BH = $\sqrt{5^2 + (5\sqrt{2})^2} = 5\sqrt{3}$.

KはBH上にあり、かつDKとBHが直交していることから、三角錐D-BFHを考えると、DKと面BFHは垂直である。

そのため、BK = $\frac{1}{2}$ BH = $\frac{5\sqrt{3}}{2}$ となる。

(4) したがって、BF = 5, BK = $\frac{5\sqrt{3}}{2}$, FK = $\frac{5\sqrt{3}}{2}$ より、△BKFはBK = FKの二等辺三角形である。

(5) cosαを求めるために、余弦定理を用いる。

$BF^2 = BK^2 + FK^2 - 2 \cdot BK \cdot FK \cdot cos\alpha$

$5^2 = (\frac{5\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{5\sqrt{3}}{2})^2 - 2 \cdot \frac{5\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{5\sqrt{3}}{2} \cdot cos\alpha$

$25 = \frac{75}{4} + \frac{75}{4} - 2 \cdot \frac{75}{4} \cdot cos\alpha$

$25 = \frac{150}{4} - \frac{150}{4} \cdot cos\alpha$

$25 = \frac{75}{2} - \frac{75}{2} \cdot cos\alpha$

$\frac{75}{2} \cdot cos\alpha = \frac{75}{2} - 25 = \frac{75-50}{2} = \frac{25}{2}$

$cos\alpha = \frac{25/2}{75/2} = \frac{25}{75} = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

cosα = 1/3