ある大学の統計学の試験を受けた学生100人についての調査結果が与えられています。 * 合格者は70人 * 前日に勉強した学生は50人 * 前日に勉強して合格した学生は40人 このとき、以下の問いに答えます。 1. 学生が合格していたとき、その学生が前日に勉強していた確率を求めます。

1. 問題の内容

ある大学の統計学の試験を受けた学生100人についての調査結果が与えられています。

* 合格者は70人

* 前日に勉強した学生は50人

* 前日に勉強して合格した学生は40人

このとき、以下の問いに答えます。

1. 学生が合格していたとき、その学生が前日に勉強していた確率を求めます。

2. 学生が前日に勉強していたとき、その学生が合格する確率を求めます。

3. 適切なベン図を描き、それぞれの確率を図示します。

2. 解き方の手順

(1) 学生が合格していたとき、その学生が前日に勉強していた確率を求める。

これは条件付き確率の問題です。

P(前日に勉強 | 合格) = P(前日に勉強 かつ 合格) / P(合格)

問題文より、

* 前日に勉強して合格した学生は40人なので、P(前日に勉強 かつ 合格) = 40/100 = 0.4

* 合格者は70人なので、P(合格) = 70/100 = 0.7

したがって、

P(前日に勉強 | 合格) = 0.4 / 0.7 = 4/7

(2) 学生が前日に勉強していたとき、その学生が合格する確率を求める。

これも条件付き確率の問題です。

P(合格 | 前日に勉強) = P(合格 かつ 前日に勉強) / P(前日に勉強)

問題文より、

* 前日に勉強して合格した学生は40人なので、P(合格 かつ 前日に勉強) = 40/100 = 0.4

* 前日に勉強した学生は50人なので、P(前日に勉強) = 50/100 = 0.5

したがって、

P(合格 | 前日に勉強) = 0.4 / 0.5 = 4/5

(3) ベン図を描き、それぞれの確率を図示する。

全体をUとして、U=100とする。

合格した人の集合をA、前日に勉強した人の集合をBとすると、

n(A)=70

n(B)=50

n(A∩B)=40

となる。

ベン図は円Aと円Bが重なった図になる。

* 円Aのみ (合格したが前日勉強しなかった) = 70 - 40 = 30

* 円Bのみ (前日勉強したが合格しなかった) = 50 - 40 = 10

* A∩B (前日勉強して合格した) = 40

* どちらでもない = 100 - 30 - 10 - 40 = 20

確率はそれぞれ、

* P(Aのみ) = 30/100 = 0.3

* P(Bのみ) = 10/100 = 0.1

* P(A∩B) = 40/100 = 0.4

* P(どちらでもない) = 20/100 = 0.2

3. 最終的な答え

(1) 学生が合格していたとき、その学生が前日に勉強していた確率は 4/7 です。

(2) 学生が前日に勉強していたとき、その学生が合格する確率は 4/5 です。

(3) ベン図については説明を参照してください。