$|x-3|<6$ が $|x-2| < a$ の必要条件になるための、正の整数 $a$ の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

$|x-3|<6$ が $|x-2| < a$ の必要条件になるための、正の整数 $a$ の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$|x-3|<6$ を解きます。絶対値の不等式は以下のように変形できます。

$-6 < x-3 < 6$

各辺に3を加えると、

$-6 + 3 < x < 6 + 3$

$-3 < x < 9$

次に、$|x-2| < a$ を解きます。同様に、

$-a < x-2 < a$

各辺に2を加えると、

$2-a < x < 2+a$

$|x-3|<6$ が $|x-2| < a$ の必要条件であるということは、$2-a < x < 2+a$ ならば $-3 < x < 9$ が成り立つということです。

つまり、$2-a \leq -3$ かつ $2+a \geq 9$ が成り立つ必要があります。

$2-a \leq -3$ より、$a \geq 5$

$2+a \geq 9$ より、$a \geq 7$

両方の条件を満たすためには、$a \geq 7$ である必要があります。

問題では、正の整数 $a$ の最大値を求めているので、条件を満たす最も大きな $a$ の値を探します。しかし、問題文を再度確認すると、$|x-3|<6$ が $|x-2| < a$ の必要条件になるための正の整数 $a$ の最大値を求める、とあります。$a$は条件を満たす最小の値ではないことに注意します。

$-3 < x < 9$が$2-a < x < 2+a$に含まれることが必要であるので、必要条件であるためには $2-a \leq -3$ かつ $2+a \geq 9$ が成り立つ必要がある。$2+a \geq 9$より$a \geq 7$。$a$は正の整数であるので、$a$の最小値は7である。必要条件となる正の整数 $a$ の最大値を求める問題なので、条件を満たす $a$ は $a \ge 7$を満たす。問題文に記載されている170 は関係ない。

3. 最終的な答え

正の整数 $a$ の最大値は存在しません。 問題文には正の整数の最大値を求めるとあるが、$a \ge 7$より $a$の最大値は存在しない。もし、問題文が「必要条件となる**最小**の正の整数 $a$ を求めよ」であれば、答えは7となる。