問題は、次の等式を満たす $a$ と $b$ の値を求めることです。 $\frac{x-1}{x^2+8x+15} = \frac{a}{x+3} + \frac{b}{x+5}$

1. 問題の内容

問題は、次の等式を満たす $a$ と $b$ の値を求めることです。

$\frac{x-1}{x^2+8x+15} = \frac{a}{x+3} + \frac{b}{x+5}$

2. 解き方の手順

まず、左辺の分母を因数分解します。

$x^2+8x+15 = (x+3)(x+5)$

したがって、与えられた等式は次のようになります。

$\frac{x-1}{(x+3)(x+5)} = \frac{a}{x+3} + \frac{b}{x+5}$

右辺を通分します。

$\frac{x-1}{(x+3)(x+5)} = \frac{a(x+5) + b(x+3)}{(x+3)(x+5)}$

両辺の分母が等しいので、分子も等しくなります。

$x-1 = a(x+5) + b(x+3)$

この式を展開して整理します。

$x-1 = ax + 5a + bx + 3b$

$x-1 = (a+b)x + (5a+3b)$

両辺の係数を比較して、連立方程式を得ます。

$x$ の係数について： $a+b = 1$

定数項について： $5a+3b = -1$

この連立方程式を解きます。

$a+b = 1$ より $b = 1-a$

これを $5a+3b = -1$ に代入すると、

$5a + 3(1-a) = -1$

$5a + 3 - 3a = -1$

$2a = -4$

$a = -2$

$b = 1-a = 1-(-2) = 3$

したがって、$a=-2$、$b=3$ です。

3. 最終的な答え

$a = -2$

$b = 3$