2次関数 $y = mx^2 + (m+1)x + m$ において、yの値が常に正となるような定数 $m$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = mx^2 + (m+1)x + m$ において、yの値が常に正となるような定数 $m$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

yの値が常に正となるためには、以下の2つの条件を満たす必要がある。

(1) $m > 0$ （上に凸ではない）

(2) 判別式 $D < 0$ （x軸と交わらない）

まず、判別式 $D$ を計算する。

$D = (m+1)^2 - 4m^2 = m^2 + 2m + 1 - 4m^2 = -3m^2 + 2m + 1$

$D < 0$ より、 $-3m^2 + 2m + 1 < 0$

両辺に-1を掛けて不等号の向きを変える。

$3m^2 - 2m - 1 > 0$

$(3m + 1)(m - 1) > 0$

したがって、 $m < -\frac{1}{3}$ または $m > 1$

(1)の条件 $m > 0$ と合わせると、$m > 1$

3. 最終的な答え

$m > 1$