半径 $r$ の半円の花壇の周りに幅 $a$ の道がある。道の面積を $S$, 道の真ん中を通る線の長さを $l$ とするとき、$S = al$ となることを証明する。

1. 問題の内容

半径 $r$ の半円の花壇の周りに幅 $a$ の道がある。道の面積を $S$, 道の真ん中を通る線の長さを $l$ とするとき、$S = al$ となることを証明する。

2. 解き方の手順

道の面積 $S$ は、外側の半円の面積から内側の半円の面積を引いたものである。外側の半円の半径は $r + a$ なので、その面積は $\frac{1}{2} \pi (r+a)^2$ である。内側の半円の面積は $\frac{1}{2} \pi r^2$ である。したがって、

$S = \frac{1}{2} \pi (r+a)^2 - \frac{1}{2} \pi r^2$

$S = \frac{1}{2} \pi (r^2 + 2ar + a^2) - \frac{1}{2} \pi r^2$

$S = \frac{1}{2} \pi r^2 + \pi ar + \frac{1}{2} \pi a^2 - \frac{1}{2} \pi r^2$

$S = \pi ar + \frac{1}{2} \pi a^2$

次に、道の真ん中を通る線の長さ $l$ を求める。道の真ん中を通る半円の半径は $r + \frac{a}{2}$ であるから、その長さは

$l = \pi (r + \frac{a}{2})$

$l = \pi r + \frac{1}{2} \pi a$

したがって、$al$ は

$al = a (\pi r + \frac{1}{2} \pi a)$

$al = \pi ar + \frac{1}{2} \pi a^2$

これは、$S$ と等しい。

3. 最終的な答え

$S = \pi ar + \frac{1}{2} \pi a^2$

$al = \pi ar + \frac{1}{2} \pi a^2$

したがって、$S = al$ が成り立つ。