$a$, $b$, $c$ はそれぞれ1桁の数である。3桁の数を $abc$ と表記するとき、その数を7進法で表すと $abc_{(7)}$ となり、5進法で表すと $bca_{(5)}$ となる。この数を10進法で表せ。

1. 問題の内容

$a$, $b$, $c$ はそれぞれ1桁の数である。3桁の数を $abc$ と表記するとき、その数を7進法で表すと $abc_{(7)}$ となり、5進法で表すと $bca_{(5)}$ となる。この数を10進法で表せ。

2. 解き方の手順

まず、10進法で表された数 $abc$ を $N$ とすると、7進法で表すと $abc_{(7)}$ 、5進法で表すと $bca_{(5)}$ となるので、以下の等式が成り立つ。

$N = 100a + 10b + c$

$N = 49a + 7b + c$

$N = 25b + 5c + a$

上記の3つの式より、以下の2つの式が得られる。

$100a + 10b + c = 49a + 7b + c$

$100a + 10b + c = 25b + 5c + a$

これらの式を整理すると、

$51a + 3b = 0$

$99a - 15b - 4c = 0$

最初の式 $51a + 3b = 0$ より $17a + b = 0$ となる。

$a$ と $b$ は1桁の数なので、これは、$a=0$かつ$b=0$の場合しかない。しかし、$abc$は3桁の数なので、$a \neq 0$ でなければならない。

したがって、問題文に誤りがある。

ここでは、$N = 100a + 10b + c$ が $N = abc$ を表す、すなわち、10進法の $abc$ であるという条件を無視して、$a, b, c$が7進数と5進数において、それぞれの一桁の数字であることを利用して問題を解いてみる。

$N = 49a + 7b + c$

$N = 25b + 5c + a$

上記の2つの式より、以下の式が得られる。

$49a + 7b + c = 25b + 5c + a$

$48a - 18b - 4c = 0$

$12a - \frac{9}{2}b - c = 0$

$24a - 9b - 2c = 0$

$a, b, c$ は7進法では0から6までの整数であり、5進法では0から4までの整数であるので、 $0 \le a, b, c \le 4$ を満たす。

また、7進法表記と5進法表記から、$a, b, c$ は 0ではないとする。

$24a = 9b + 2c$

$a = 1$ のとき: $24 = 9b + 2c$

$b = 2$ のとき: $24 = 18 + 2c$ より $2c = 6$, $c = 3$

$b = 1$ のとき: $24 = 9 + 2c$ より $2c = 15$, これは整数解を持たない。

$b = 0$ のとき: $24 = 2c$, $c = 12$ これは条件を満たさない。

$a = 2$ のとき: $48 = 9b + 2c$

$b = 4$ のとき: $48 = 36 + 2c$ より $2c = 12$, $c = 6$ これは条件を満たさない。

$b = 3$ のとき: $48 = 27 + 2c$ より $2c = 21$, これは整数解を持たない。

$b = 2$ のとき: $48 = 18 + 2c$ より $2c = 30$, $c = 15$ これは条件を満たさない。

$b = 1$ のとき: $48 = 9 + 2c$ より $2c = 39$, これは整数解を持たない。

$b = 0$ のとき: $48 = 2c$, $c = 24$ これは条件を満たさない。

$a = 3$ のとき: $72 = 9b + 2c$

$b = 8$ これは条件を満たさない。

$b = 7$ これは条件を満たさない。

$b = 6$ これは条件を満たさない。

$b = 5$ これは条件を満たさない。

$b = 4$ のとき: $72 = 36 + 2c$ より $2c = 36$, $c = 18$ これは条件を満たさない。

$b = 3$ のとき: $72 = 27 + 2c$ より $2c = 45$, これは整数解を持たない。

$b = 2$ のとき: $72 = 18 + 2c$ より $2c = 54$, $c = 27$ これは条件を満たさない。

$b = 1$ のとき: $72 = 9 + 2c$ より $2c = 63$, これは整数解を持たない。

$b = 0$ のとき: $72 = 2c$, $c = 36$ これは条件を満たさない。

$a = 4$ のとき: $96 = 9b + 2c$

$b = 10$ これは条件を満たさない。

$b = 9$ これは条件を満たさない。

$b = 8$ これは条件を満たさない。

$b = 7$ これは条件を満たさない。

$b = 6$ これは条件を満たさない。

$b = 5$ これは条件を満たさない。

$b = 4$ のとき: $96 = 36 + 2c$ より $2c = 60$, $c = 30$ これは条件を満たさない。

$b = 3$ のとき: $96 = 27 + 2c$ より $2c = 69$, これは整数解を持たない。

$b = 2$ のとき: $96 = 18 + 2c$ より $2c = 78$, $c = 39$ これは条件を満たさない。

$b = 1$ のとき: $96 = 9 + 2c$ より $2c = 87$, これは整数解を持たない。

$b = 0$ のとき: $96 = 2c$, $c = 48$ これは条件を満たさない。

したがって、$a = 1, b = 2, c = 3$

$N = 49a + 7b + c = 49(1) + 7(2) + 3 = 49 + 14 + 3 = 66$

確認のため、

$N = 25b + 5c + a = 25(2) + 5(3) + 1 = 50 + 15 + 1 = 66$

$123_{(7)} = 1*49 + 2*7 + 3*1 = 49+14+3=66$

$231_{(5)} = 2*25 + 3*5 + 1*1 = 50+15+1=66$

3. 最終的な答え

66