正六角形について、以下の数を求める問題です。 (1) 3個の頂点を結んでできる三角形の個数 (2) 2個の頂点を結ぶ線分の本数 (3) 対角線の本数

1. 問題の内容

正六角形について、以下の数を求める問題です。

(1) 3個の頂点を結んでできる三角形の個数

(2) 2個の頂点を結ぶ線分の本数

(3) 対角線の本数

2. 解き方の手順

(1) 3個の頂点を結んでできる三角形の個数

正六角形の6個の頂点から3個を選ぶ組み合わせを考えます。これは組み合わせの公式 ${}_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ を用いて計算できます。

この場合、$n=6$ で $r=3$ なので、

${}_6C_3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

したがって、3個の頂点を結んでできる三角形の個数は20個です。

(2) 2個の頂点を結ぶ線分の本数

正六角形の6個の頂点から2個を選ぶ組み合わせを考えます。これは組み合わせの公式 ${}_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ を用いて計算できます。

この場合、$n=6$ で $r=2$ なので、

${}_6C_2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

したがって、2個の頂点を結ぶ線分の本数は15本です。

(3) 対角線の本数

対角線は、頂点を結ぶ線分のうち、辺ではないものを指します。2個の頂点を結ぶ線分の本数は15本であり、そのうち正六角形の辺は6本です。したがって、対角線の本数は、線分の本数から辺の本数を引けば求まります。

$15 - 6 = 9$

したがって、対角線の本数は9本です。

3. 最終的な答え

(1) 20個

(2) 15本

(3) 9本