直角三角形ABCにおいて、∠Aが直角であるという条件の下で、与えられた情報から指定された三角関数の値を求める問題です。

1. 問題の内容

直角三角形ABCにおいて、∠Aが直角であるという条件の下で、与えられた情報から指定された三角関数の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) AB = 5, AC = 12 のとき、sin B, cos B, tan Bを求めます。

まず、ピタゴラスの定理より、BCを計算します。

$BC^2 = AB^2 + AC^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$

したがって、$BC = \sqrt{169} = 13$

次に、三角関数の定義より、

$sin B = \frac{AC}{BC} = \frac{12}{13}$

$cos B = \frac{AB}{BC} = \frac{5}{13}$

$tan B = \frac{AC}{AB} = \frac{12}{5}$

(2) BC = 4, AB = 1 のとき、sin C, cos C, tan Cを求めます。

まず、ピタゴラスの定理より、ACを計算します。

$AC^2 = BC^2 - AB^2 = 4^2 - 1^2 = 16 - 1 = 15$

したがって、$AC = \sqrt{15}$

次に、三角関数の定義より、

$sin C = \frac{AB}{BC} = \frac{1}{4}$

$cos C = \frac{AC}{BC} = \frac{\sqrt{15}}{4}$

$tan C = \frac{AB}{AC} = \frac{1}{\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{15}}{15}$

(3) $sin B = \frac{1}{3}, BC = 6$ のとき、sin C, AB, ACを求めます。

$sin B = \frac{AC}{BC}$ より、$AC = BC \cdot sin B = 6 \cdot \frac{1}{3} = 2$

ピタゴラスの定理より、$AB^2 = BC^2 - AC^2 = 6^2 - 2^2 = 36 - 4 = 32$

したがって、$AB = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$

$sin C = \frac{AB}{BC} = \frac{4\sqrt{2}}{6} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

(4) $tan C = 2, AB = 3$ のとき、AC, BCを求めます。

$tan C = \frac{AB}{AC}$ より、$2 = \frac{3}{AC}$ なので、$AC = \frac{3}{2}$

ピタゴラスの定理より、$BC^2 = AB^2 + AC^2 = 3^2 + (\frac{3}{2})^2 = 9 + \frac{9}{4} = \frac{36+9}{4} = \frac{45}{4}$

したがって、$BC = \sqrt{\frac{45}{4}} = \frac{\sqrt{45}}{2} = \frac{3\sqrt{5}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $sin B = \frac{12}{13}, cos B = \frac{5}{13}, tan B = \frac{12}{5}$

(2) $sin C = \frac{1}{4}, cos C = \frac{\sqrt{15}}{4}, tan C = \frac{\sqrt{15}}{15}$

(3) $sin C = \frac{2\sqrt{2}}{3}, AB = 4\sqrt{2}, AC = 2$

(4) $AC = \frac{3}{2}, BC = \frac{3\sqrt{5}}{2}$