$a, b, c$ はそれぞれ1桁の数（つまり、0から9までの整数）である。3桁の数を $abc$ と表記するとき、$abc$ を7進法で表すと $abc_{(7)}$ になり、5進法で表すと $bca_{(5)}$ になる。この数を10進法で表せ。

1. 問題の内容

$a, b, c$ はそれぞれ1桁の数（つまり、0から9までの整数）である。3桁の数を $abc$ と表記するとき、$abc$ を7進法で表すと $abc_{(7)}$ になり、5進法で表すと $bca_{(5)}$ になる。この数を10進法で表せ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた条件を数式で表す。10進数の $abc$、7進数の $abc_{(7)}$、5進数の $bca_{(5)}$ はそれぞれ以下のように表される。

$100a + 10b + c$ (10進数)

$49a + 7b + c$ (7進数)

$25b + 5c + a$ (5進数)

問題文より、10進数の $abc$ と 7進数の $abc_{(7)}$ が等しいので、

$100a + 10b + c = 49a + 7b + c$

$51a + 3b = 0$

$17a + b = 0$

$a,b$ は0以上の整数であるから、$a=0, b=0$となる。

また、10進数の $abc$ と 5進数の $bca_{(5)}$ が等しいので、

$100a + 10b + c = 25b + 5c + a$

$99a - 15b - 4c = 0$

$abc$ が3桁の数であることから、$a \neq 0$。先ほど$a=0, b=0$が求まったので、10進数の $abc$ と 7進数の $abc_{(7)}$ が等しいという条件を満たすことはできない。

問題文をよく読むと、$abc$ を7進法で表すと $abc_{(7)}$ になり、5進法で表すと $bca_{(5)}$ になると書かれている。したがって、

$100a + 10b + c$を7進法で表すと$abc_{(7)}$

$100a + 10b + c$を5進法で表すと$bca_{(5)}$

と解釈する。

したがって、

$100a + 10b + c = 49a + 7b + c$ (式1)

$100a + 10b + c = 25b + 5c + a$ (式2)

式1より

$51a + 3b = 0$

$17a + b = 0$

$b = -17a$

$a, b$ は整数で、$0 \le a \le 6$, $0 \le b \le 4$ なので、$a = 0$, $b = 0$ になる。しかし、$abc$ は3桁の数なので、$a \neq 0$ でないといけないので矛盾する。

問題文をもう一度確認すると、7進法で表すと3桁の数 $abc_{(7)}$ になり、5進法で表すと3桁の数 $bca_{(5)}$ になる数を10進法で表せという問題なので、

$N = 49a + 7b + c = 25b + 5c + a$

という式が成り立つ。

式を整理すると、

$48a - 18b - 4c = 0$

$24a - 9b - 2c = 0$

$24a = 9b + 2c$

ここで、$a, b, c$ はそれぞれ1桁の数で、7進法で $abc$ と表せるので、$a, b, c \le 6$ であり、5進法で $bca$ と表せるので、$a, b, c \le 4$ となる。したがって、$a, b, c \le 4$ が成り立つ。

$24a = 9b + 2c$ に $a, b, c$ を当てはめていく。

$a=1$ のとき $24 = 9b + 2c$ となる。$b=2$ とすると $24 = 18 + 2c$ なので $2c = 6$, $c = 3$ となる。

$a=1, b=2, c=3$ は条件 $a, b, c \le 4$ を満たす。

このとき、10進数の値は、

$49a + 7b + c = 49 \times 1 + 7 \times 2 + 3 = 49 + 14 + 3 = 66$

$25b + 5c + a = 25 \times 2 + 5 \times 3 + 1 = 50 + 15 + 1 = 66$

したがって、10進数で表すと $66$ となる。

3. 最終的な答え

66