直角三角形ABCにおいて、AB=1, ∠ABC=90°, ∠ACB = α, ∠ADB = βである。辺BC上に点Dがある。 (8) 線分AC, AD, CDの長さをα, βの三角比を用いて表す。 (9) 点Dから辺ACに下ろした垂線の足をHとする。線分DHの長さをα, βの三角比を用いて表す。さらに、(8)を利用して、sin(β-α)をα, βの三角比を用いて表す。

1. 問題の内容

直角三角形ABCにおいて、AB=1, ∠ABC=90°, ∠ACB = α, ∠ADB = βである。辺BC上に点Dがある。

(8) 線分AC, AD, CDの長さをα, βの三角比を用いて表す。

(9) 点Dから辺ACに下ろした垂線の足をHとする。線分DHの長さをα, βの三角比を用いて表す。さらに、(8)を利用して、sin(β-α)をα, βの三角比を用いて表す。

2. 解き方の手順

(8)

まず、直角三角形ABCにおいて、

$\frac{AB}{AC} = \sin α$

$AC = \frac{AB}{\sin α} = \frac{1}{\sin α}$

次に、直角三角形ABDにおいて、

$\frac{AB}{AD} = \sin β$

$AD = \frac{AB}{\sin β} = \frac{1}{\sin β}$

直角三角形ABCにおいて、

$\frac{AB}{BC} = \tan α$

$BC = \frac{AB}{\tan α} = \frac{1}{\tan α}$

直角三角形ABDにおいて、

$\frac{AB}{BD} = \tan β$

$BD = \frac{AB}{\tan β} = \frac{1}{\tan β}$

$CD = BC - BD = \frac{1}{\tan α} - \frac{1}{\tan β} = \frac{\tan β - \tan α}{\tan α \tan β} = \frac{\frac{\sin β}{\cos β} - \frac{\sin α}{\cos α}}{\frac{\sin α}{\cos α} \frac{\sin β}{\cos β}} = \frac{\sin β \cos α - \sin α \cos β}{\sin α \sin β} = \frac{\sin (β-α)}{\sin α \sin β}$

(9)

直角三角形ADHにおいて、

$\frac{DH}{AD} = \sin α$

$DH = AD \sin α = \frac{\sin α}{\sin β}$

また、

$AH = AD \cos α = \frac{\cos α}{\sin β}$

$CH = AC - AH = \frac{1}{\sin α} - \frac{\cos α}{\sin β} = \frac{\sin β - \sin α \cos α}{\sin α \sin β}$

直角三角形CDHにおいて、

$DH^2 + CH^2 = CD^2$

$(\frac{\sin α}{\sin β})^2 + (\frac{\sin β - \sin α \cos α}{\sin α \sin β})^2 = (\frac{\sin (β-α)}{\sin α \sin β})^2$

$\frac{DH}{CD} = \sin (\angle DCH)$

$\angle DCH = 90 - \beta + 90 = \pi - \beta$

三角形ADHにおいて、

$\sin (β-α) = \sin β \cos α - \sin α \cos β$

$CD = \frac{\sin (β-α)}{\sin α \sin β}$

三角形DHCにおいて、

$\frac{DH}{CD} = \sin C = \sin α$

$DH = CD \sin α = \frac{\sin (β-α) \sin α}{\sin α \sin β} = \frac{\sin (β-α)}{\sin β}$

$\sin(β-α) = DH \sin β = \frac{\sin α}{\sin β} \sin β = \sin α$

したがって、

$\sin (β-α) = \sin α \cos β - \cos α \sin β$

$\frac{DH}{AD} = \sin α$

$DH = AD \sin α = \frac{\sin α}{\sin β}$

$CD = \frac{\sin(\beta-\alpha)}{\sin \alpha \sin \beta}$

$\sin (\beta-\alpha) = \frac{CD}{DH} * \sin α * \sin β * \frac{DH}{CD} = \frac{\sin \alpha}{\sin \beta}CD * CD \sin \alpha \sin \beta /DH$

$\sin (\beta-\alpha) = DH * \sin \beta = \frac{\sin \alpha}{\sin \beta} \sin \beta = \sin \alpha$

$\sin (\beta - \alpha) = \sin \beta cos \alpha - \cos \beta \sin \alpha$

$\sin(\beta - \alpha) = \sin \alpha \cos \alpha - \cos \alpha \sin \beta = \sin β(CD = \frac{\sin βcos\alpha - sin\alpha cos\beta}{sin\alpha sin\beta}$

3. 最終的な答え

(8) $AC = \frac{1}{\sin α}$, $AD = \frac{1}{\sin β}$, $CD = \frac{\sin (β-α)}{\sin α \sin β}$

(9) $DH = \frac{\sin α}{\sin β}$, $sin(β-α) = \sin α \cos β - \cos α \sin β$