円に内接する四角形ABCDにおいて、$\angle BAC = 48^\circ$, $\angle BEC = 115^\circ$ (ただしEはACとBDの交点) であるとき、$\angle BCD = x$ を求める問題です。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、$\angle BAC = 48^\circ$, $\angle BEC = 115^\circ$ (ただしEはACとBDの交点) であるとき、$\angle BCD = x$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\angle BEC$は$\triangle ABE$の外角なので、

$\angle BEC = \angle BAE + \angle ABE$

$115^\circ = 48^\circ + \angle ABE$

$\angle ABE = 115^\circ - 48^\circ = 67^\circ$

すなわち、$\angle ABD = 67^\circ$

次に、円周角の定理より、$\angle ACD = \angle ABD = 67^\circ$

$\angle BAC = 48^\circ$ なので、$\angle BDC = \angle BAC = 48^\circ$

$\triangle CDE$に注目すると、$\angle CED = 180^\circ - \angle BEC = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$

$\angle DCE = 67^\circ$ なので、

$\angle EDC = \angle BDC = 48^\circ$

したがって、円に内接する四角形の内角と外角の関係より

$x + 48^\circ = 180^\circ - 67^\circ$というわけではない。

円に内接する四角形の対角の和は180度であるから、$\angle BAD + \angle BCD = 180^\circ$

$\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD = 48^\circ + \angle CAD$

$\angle CAD = \angle CBD = 67^\circ$

よって、$\angle BAD = 48^\circ + 67^\circ = 115^\circ$

$x = 180^\circ - \angle BAD = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$

3. 最終的な答え

$x = 65^\circ$