与えられた級数 $S = \frac{1}{1\cdot3} + \frac{1}{2\cdot4} + \frac{1}{3\cdot5} + \cdots + \frac{1}{n(n+2)}$ の和を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた級数 $S = \frac{1}{1\cdot3} + \frac{1}{2\cdot4} + \frac{1}{3\cdot5} + \cdots + \frac{1}{n(n+2)}$ の和を求める問題です。

2. 解き方の手順

この級数は、各項を部分分数分解することで計算できます。

一般項 $\frac{1}{k(k+2)}$ を部分分数分解します。

$\frac{1}{k(k+2)} = \frac{A}{k} + \frac{B}{k+2}$ とおくと、

$1 = A(k+2) + Bk$ が成り立ちます。

$k = 0$ のとき、$1 = 2A$ より $A = \frac{1}{2}$ です。

$k = -2$ のとき、$1 = -2B$ より $B = -\frac{1}{2}$ です。

したがって、$\frac{1}{k(k+2)} = \frac{1}{2}(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+2})$ となります。

これを用いて、級数 $S$ を書き換えます。

$S = \frac{1}{2}(\frac{1}{1} - \frac{1}{3}) + \frac{1}{2}(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}) + \frac{1}{2}(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) + \cdots + \frac{1}{2}(\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n+1}) + \frac{1}{2}(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2})$

$S = \frac{1}{2}[(\frac{1}{1} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) + \cdots + (\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n+1}) + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2})]$

この級数は、多くの項が打ち消し合い、最終的には以下のようになります。

$S = \frac{1}{2}[1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2}]$

$S = \frac{1}{2}[\frac{3}{2} - \frac{n+2+n+1}{(n+1)(n+2)}] = \frac{1}{2}[\frac{3}{2} - \frac{2n+3}{(n+1)(n+2)}]$

$S = \frac{1}{2}[\frac{3(n+1)(n+2) - 4(2n+3)}{2(n+1)(n+2)}] = \frac{1}{4} \frac{3n^2 + 9n + 6 - 4n - 6}{(n+1)(n+2)} = \frac{1}{4} \frac{3n^2 + 5n}{(n+1)(n+2)}$

$S = \frac{n(3n+5)}{4(n+1)(n+2)}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{n(3n+5)}{4(n+1)(n+2)}$