問題80は、次の式を簡単にすることです。 (1) $\sqrt{7+4\sqrt{3}}$ (2) $\sqrt{9-\sqrt{72}}$

1. 問題の内容

問題80は、次の式を簡単にすることです。

(1) $\sqrt{7+4\sqrt{3}}$

(2) $\sqrt{9-\sqrt{72}}$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{7+4\sqrt{3}}$ を簡単にします。

$\sqrt{A+B\sqrt{C}} = \sqrt{x} + \sqrt{y}$ の形に変形することを考えます。両辺を2乗すると、

$A+B\sqrt{C} = x+y+2\sqrt{xy}$

となるので、$A = x+y$ , $B\sqrt{C} = 2\sqrt{xy}$ となります。

この問題の場合、$A=7$, $B=4$, $C=3$ なので、

$x+y = 7$

$2\sqrt{xy} = 4\sqrt{3} \implies \sqrt{xy} = 2\sqrt{3} \implies xy = 12$

$x+y = 7$ と $xy = 12$ を満たす $x$, $y$ は $x=3, y=4$ もしくは $x=4, y=3$ です。

したがって、

$\sqrt{7+4\sqrt{3}} = \sqrt{3} + \sqrt{4} = 2 + \sqrt{3}$

(2) $\sqrt{9-\sqrt{72}}$ を簡単にします。

$\sqrt{9-\sqrt{72}} = \sqrt{9 - \sqrt{36 \times 2}} = \sqrt{9-6\sqrt{2}}$

同様に $\sqrt{A-B\sqrt{C}} = \sqrt{x} - \sqrt{y}$ の形に変形することを考えます。両辺を2乗すると、

$A-B\sqrt{C} = x+y-2\sqrt{xy}$

となるので、$A = x+y$ , $B\sqrt{C} = 2\sqrt{xy}$ となります。

この問題の場合、$A=9$, $B=6$, $C=2$ なので、

$x+y = 9$

$2\sqrt{xy} = 6\sqrt{2} \implies \sqrt{xy} = 3\sqrt{2} \implies xy = 18$

$x+y = 9$ と $xy = 18$ を満たす $x$, $y$ は $x=3, y=6$ もしくは $x=6, y=3$ です。

$\sqrt{x} - \sqrt{y}$ で、$x>y$ となるようにする必要があります。

したがって、$x=6$, $y=3$ となり、

$\sqrt{9-6\sqrt{2}} = \sqrt{6} - \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $2+\sqrt{3}$

(2) $\sqrt{6}-\sqrt{3}$