放物線 $y = ax^2$ 上に2点A, Bがある。Aのx座標は-4、Bのx座標は6である。直線ABの傾きは$\frac{3}{4}$である。点Oは原点、点Cは直線ABとy軸の交点、点DはAを通り傾き$\frac{4}{3}$の直線とx軸との交点である。 (1) A, Bの座標を$a$を用いて表し、$a$の値を求めよ。 (2) 線分ADの長さを求めよ。 (3) 四角形OCADをx軸を軸として1回転させてできる立体の表面積を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = ax^2$ 上に2点A, Bがある。Aのx座標は-4、Bのx座標は6である。直線ABの傾きは$\frac{3}{4}$である。点Oは原点、点Cは直線ABとy軸の交点、点DはAを通り傾き$\frac{4}{3}$の直線とx軸との交点である。

(1) A, Bの座標を$a$を用いて表し、$a$の値を求めよ。

(2) 線分ADの長さを求めよ。

(3) 四角形OCADをx軸を軸として1回転させてできる立体の表面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

Aの座標は $(-4, 16a)$、Bの座標は $(6, 36a)$である。

直線ABの傾きは$\frac{36a - 16a}{6 - (-4)} = \frac{20a}{10} = 2a$である。

与えられた条件より$2a = \frac{3}{4}$なので、$a = \frac{3}{8}$である。

よって、Aの座標は $(-4, 16 \times \frac{3}{8}) = (-4, 6)$、Bの座標は $(6, 36 \times \frac{3}{8}) = (6, \frac{27}{2})$である。

(2)

点DはA $(-4, 6)$ を通り、傾きが$\frac{4}{3}$の直線とx軸との交点である。

この直線の式は $y - 6 = \frac{4}{3}(x - (-4))$、すなわち $y = \frac{4}{3}x + \frac{16}{3} + 6 = \frac{4}{3}x + \frac{34}{3}$である。

点Dはy=0なので、$\frac{4}{3}x + \frac{34}{3} = 0$より、$4x = -34$なので、$x = -\frac{17}{2}$である。

したがって、Dの座標は $(-\frac{17}{2}, 0)$である。

Aの座標は $(-4, 6)$なので、ADの長さは

$AD = \sqrt{(-4 - (-\frac{17}{2}))^2 + (6-0)^2} = \sqrt{(\frac{9}{2})^2 + 6^2} = \sqrt{\frac{81}{4} + 36} = \sqrt{\frac{81 + 144}{4}} = \sqrt{\frac{225}{4}} = \frac{15}{2}$である。

(3)

直線ABの式を求める。傾きは$\frac{3}{4}$でA(-4,6)を通るので、$y - 6 = \frac{3}{4}(x - (-4))$、すなわち$y = \frac{3}{4}x + 3 + 6 = \frac{3}{4}x + 9$である。

Cは直線ABとy軸との交点なので、$x = 0$を代入すると、$y = 9$となる。よって、Cの座標は$(0, 9)$である。

四角形OCADをx軸を軸として1回転させてできる立体の表面積を求める。

これは、円錐の側面、円柱の側面、円錐の側面によって構成される。

OCを回転してできる円柱の側面積は、$2\pi \times 9 \times 4 = 72\pi$である。

Aからx軸に下ろした垂線の足(-4,0)とD$(-\frac{17}{2},0)$の距離は$\frac{17}{2} - 4 = \frac{9}{2}$である。

ADを回転してできる円錐の側面積は、$\pi \times 6 \times \frac{15}{2} = 45\pi$である。

OCを回転してできる円の面積は$\pi \times 9^2 = 81 \pi$である。

よって、立体の表面積は、$72\pi + 45\pi + 81\pi = 198\pi$である。

3. 最終的な答え

(1) Aの座標は $(-4, 6)$、Bの座標は $(6, \frac{27}{2})$、$a = \frac{3}{8}$

(2) ADの長さは $\frac{15}{2}$

(3) 立体の表面積は $198\pi$