命題「$xy \le 0 \implies x \le 0$ または $y \le 0$」の真偽を判定する。

1. 問題の内容

命題「$xy \le 0 \implies x \le 0$ または $y \le 0$」の真偽を判定する。

2. 解き方の手順

与えられた命題の真偽を判定するために、反例を探すことを試みる。

$xy \le 0$となるのは、$x$と$y$の符号が異なる場合か、少なくとも一方が0の場合である。

* $x \le 0$ または $y \le 0$ が成り立たない場合、つまり、$x > 0$ かつ $y > 0$ の場合を考える。

このとき、$xy > 0$ となるので、$xy \le 0$ は成り立たない。

したがって、$x > 0$ かつ $y > 0$ ならば、$xy > 0$ である。

* $x \ge 0$ かつ $y \le 0$ の場合、$xy \le 0$が成り立つ。このとき、$x \le 0$ は成り立たないが、$y \le 0$ は成り立つ。

* $x \le 0$ かつ $y \ge 0$ の場合、$xy \le 0$が成り立つ。このとき、$x \le 0$ は成り立つが、$y \le 0$ は成り立たない。

* $x < 0$ かつ $y < 0$ の場合、$xy > 0$となる。

結論として、$xy \le 0$ ならば、$x \le 0$ または $y \le 0$ は常に成り立つ。

3. 最終的な答え

真