与えられた５つの数学の問題に答えよ。 (1) $6x^2 - 5x - 21$ を因数分解する。 (2) $(a + 2b - 3)(a - 2b + 3)$ を展開し、整理する。 (3) $|\sqrt{7} - 2| + |\sqrt{7} - 3|$ を計算し、簡単にする。 (4) 連立不等式 $\begin{cases} \frac{5}{6}x - \frac{1}{3} < \frac{x}{3} + \frac{1}{2} \\ \frac{4x + 3}{2} \le 4x - 1 \end{cases}$ を解く。 (5) $a + b = 2\sqrt{5}, ab = -7$ のとき、$a^2 + b^2 - 3ab$ の値を求める。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、以下の形式で回答します。

1. 問題の内容

与えられた５つの数学の問題に答えよ。

(1) $6x^2 - 5x - 21$ を因数分解する。

(2) $(a + 2b - 3)(a - 2b + 3)$ を展開し、整理する。

(3) $|\sqrt{7} - 2| + |\sqrt{7} - 3|$ を計算し、簡単にする。

(4) 連立不等式

$\begin{cases}

\frac{5}{6}x - \frac{1}{3} < \frac{x}{3} + \frac{1}{2} \\

\frac{4x + 3}{2} \le 4x - 1

\end{cases}$

を解く。

(5) $a + b = 2\sqrt{5}, ab = -7$ のとき、$a^2 + b^2 - 3ab$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $6x^2 - 5x - 21$ を因数分解する。

積が $6 \times (-21) = -126$ で、和が $-5$ になる2つの数を見つける。それは、$-14$ と $9$ である。

$6x^2 - 14x + 9x - 21$ と変形し、共通因数でくくる。

$2x(3x - 7) + 3(3x - 7) = (2x + 3)(3x - 7)$

(2) $(a + 2b - 3)(a - 2b + 3)$ を展開し、整理する。

$(a + 2b - 3)(a - 2b + 3) = (a + (2b - 3))(a - (2b - 3))$

これは $(A + B)(A - B) = A^2 - B^2$ の形を利用できる。

$a^2 - (2b - 3)^2 = a^2 - (4b^2 - 12b + 9) = a^2 - 4b^2 + 12b - 9$

(3) $|\sqrt{7} - 2| + |\sqrt{7} - 3|$ を計算し、簡単にする。

$\sqrt{7}$ は $2 < \sqrt{7} < 3$ である。

したがって、$\sqrt{7} - 2 > 0$ より、 $|\sqrt{7} - 2| = \sqrt{7} - 2$

$\sqrt{7} - 3 < 0$ より、 $|\sqrt{7} - 3| = 3 - \sqrt{7}$

$|\sqrt{7} - 2| + |\sqrt{7} - 3| = (\sqrt{7} - 2) + (3 - \sqrt{7}) = 1$

(4) 連立不等式を解く。

$\begin{cases}

\frac{5}{6}x - \frac{1}{3} < \frac{x}{3} + \frac{1}{2} \\

\frac{4x + 3}{2} \le 4x - 1

\end{cases}$

上の不等式に6をかける: $5x - 2 < 2x + 3 \Rightarrow 3x < 5 \Rightarrow x < \frac{5}{3}$

下の不等式に2をかける: $4x + 3 \le 8x - 2 \Rightarrow 4x \ge 5 \Rightarrow x \ge \frac{5}{4}$

したがって、$\frac{5}{4} \le x < \frac{5}{3}$

(5) $a + b = 2\sqrt{5}, ab = -7$ のとき、$a^2 + b^2 - 3ab$ の値を求める。

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ より、$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$

$a^2 + b^2 - 3ab = (a + b)^2 - 2ab - 3ab = (a + b)^2 - 5ab$

$(2\sqrt{5})^2 - 5(-7) = 4 \times 5 + 35 = 20 + 35 = 55$

3. 最終的な答え

(1) $(2x+3)(3x-7)$

(2) $a^2 - 4b^2 + 12b - 9$

(3) $1$

(4) $\frac{5}{4} \le x < \frac{5}{3}$

(5) $55$