ボールをある角度で発射したときの軌道を放物線で表し、その放物線の頂点の座標、最大高度、水平距離、および別の角度で発射した場合の水平距離を求める問題です。

1. 問題の内容

ボールをある角度で発射したときの軌道を放物線で表し、その放物線の頂点の座標、最大高度、水平距離、および別の角度で発射した場合の水平距離を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 45度の角度で発射した場合:

放物線の式は $y = -\frac{1}{20}x^2 + x$ です。

頂点の座標を求めるために、この式を平方完成します。

$y = -\frac{1}{20}(x^2 - 20x) = -\frac{1}{20}((x-10)^2 - 100) = -\frac{1}{20}(x-10)^2 + 5$

よって、頂点の座標は $(10, 5)$ です。

したがって、アイ = 10, ウ = 5 です。

ボールが最も高い位置にあるとき、地面からの高さ $y$ は $5$ であり、そのときの水平距離 $x$ は $10$ です。

発射したボールが地面に落下するまでの間に進んだ水平距離 $x$ は、$y = 0$ となる $x$ を求めることでわかります。

$0 = -\frac{1}{20}x^2 + x$

$0 = x(-\frac{1}{20}x + 1)$

$x = 0$ または $x = 20$

$x = 0$ は発射地点なので、$x = 20$ が地面に落下するまでの水平距離です。

したがって、エオ = 20 です。

(2) 30度の角度で発射した場合:

放物線の式は $y = -\frac{1}{30}x^2 + \frac{1}{\sqrt{3}}x$ です。

発射したボールが地面に落下するまでの間に進んだ水平距離 $x$ は、$y = 0$ となる $x$ を求めることでわかります。

$0 = -\frac{1}{30}x^2 + \frac{1}{\sqrt{3}}x$

$0 = x(-\frac{1}{30}x + \frac{1}{\sqrt{3}})$

$x = 0$ または $-\frac{1}{30}x + \frac{1}{\sqrt{3}} = 0$

$\frac{1}{30}x = \frac{1}{\sqrt{3}}$

$x = \frac{30}{\sqrt{3}} = \frac{30\sqrt{3}}{3} = 10\sqrt{3}$

したがって、カキ = 10, ク = 3 です。

3. 最終的な答え

アイ = 10

ウ = 5

エオ = 20

カキ = 10

ク = 3